p39.mw

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Se quiere estimar la potencia necesaria para el sistema de desescarche de la ventana trasera de un coche (luneta térmica), pensando que se trata de una resistencia eléctrica muy fina embebida entre dos láminas de vidrio de 2 mm (cada una) y 0,6 m2 de área (modelo unidimensional). Supóngase que la temperatura en el interior es 17 ºC, y la del exterior es -3 ºC, que el vidrio tiene k=1,4 W/(m×K) y que los coeficientes convectivos son de 7 W/(m2×K) para el aire interior y 40 W/(m2×K) para el exterior. Se pide:
a) Esquema del perfil de temperaturas en régimen estacionario a través de la ventana, antes de conectar la resistencia, calculando las temperaturas de pared y el flujo de calor.
b) Esquema del perfil de temperaturas en régimen estacionario a través de la ventana, después de conectar la resistencia, y balance energético de la resistencia eléctrica.
c) Calcular las temperaturas de pared, el flujo de calor, y la potencia de la resistencia, suponiendo que no hay transmisión de calor con el interior, y despreciando el efecto de la escarcha.

Datos:

> read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):

> dat:=[L=2e-3*m_,A=0.6*m_^2,Ti=(17+273)*K_,Te=(-3+273)*K_,k=1.4*W_/(m_*K_),hi=7*W_/(m_^2*K_),he=40*W_/(m_^2*K_)];

[L = `+`(`*`(0.2e-2, `*`(m_))), A = `+`(`*`(.6, `*`(`^`(m_, 2)))), Ti = `+`(`*`(290, `*`(K_))), Te = `+`(`*`(270, `*`(K_))), k = `+`(`/`(`*`(1.4, `*`(W_)), `*`(m_, `*`(K_)))), hi = `+`(`/`(`*`(7, `*`(...

Image

> dat:=op(dat),Const,SI2,SI1:

a) Esquema del perfil de temperaturas en rgimen estacionario a travs de la ventana, antes de conectar la resistencia, calculando las temperaturas de pared y el flujo de calor.

> eqsin:=q=(Ti-Te)/(1/hi+L/k+L/k+1/he);eqsin_:=subs(dat,eqsin);Q_:=subs(eqsin_,dat,q*A);eqsin1:=q=hi*(Ti-T1);T1_:=subs(eqsin_,dat,solve(eqsin1,T1));eqsin2:=q=he*(T2-Te);T2_:=subs(eqsin_,dat,solve(eqsin2,T2));T0:=(T1+T2)/2;T0_:=(T1_+T2_)/2;T0:='T0':

q = `/`(`*`(`+`(Ti, `-`(Te))), `*`(`+`(`/`(1, `*`(hi)), `/`(`*`(2, `*`(L)), `*`(k)), `/`(1, `*`(he)))))
q = `+`(`/`(`*`(117.1, `*`(W_)), `*`(`^`(m_, 2))))
`+`(`*`(70.26, `*`(W_)))
q = `*`(hi, `*`(`+`(Ti, `-`(T1))))
`+`(`*`(273.3, `*`(K_)))
q = `*`(he, `*`(`+`(T2, `-`(Te))))
`+`(`*`(273.0, `*`(K_)))
`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(T1)), `*`(`/`(1, 2), `*`(T2)))
`+`(`*`(273.1, `*`(K_)))

Ntese que la cada a travs del vidrio es muy pequea (se exager el esquema).

b) Esquema del perfil de temperaturas en rgimen estacionario a travs de la ventana, despus de conectar la resistencia, y balance energtico de la resistencia elctrica.

> eqBE:=DE=Q+W;eqBE:=0=-Qdot01-Qdot02+Pele;eqBE:=0=-k*A*(T0-T1)/L-k*A*(T0-T2)/L+Pele;

DE = `+`(Q, W)
0 = `+`(`-`(Qdot01), `-`(Qdot02), Pele)
0 = `+`(`-`(`/`(`*`(k, `*`(A, `*`(`+`(T0, `-`(T1))))), `*`(L))), `-`(`/`(`*`(k, `*`(A, `*`(`+`(T0, `-`(T2))))), `*`(L))), Pele)

c) Calcular las temperaturas de pared, el flujo de calor, y la potencia de la resistencia, suponiendo que no hay transmisin de calor con el interior, y despreciando el efecto de la escarcha.

> eq0:=T1=Ti;eq0_:=T0=T1;eqBE:=Pele=k*A*(T0-T2)/L;eqBE02e:=Pele=A*(T0-Te)/(L/k+1/he);eqBE02e_:=subs(dat,eqBE02e);q:=Pele/A;q_:=subs(eqBE02e_,dat,q);eqcon2:=q=he*(T2-Te);T2_:=subs(eqBE02e_,dat,solve(eqcon2,T2));'T2_'=TKC(%);

T1 = Ti
T0 = T1
Pele = `/`(`*`(k, `*`(A, `*`(`+`(T0, `-`(T2))))), `*`(L))
Pele = `/`(`*`(A, `*`(`+`(T0, `-`(Te)))), `*`(`+`(`/`(`*`(L), `*`(k)), `/`(1, `*`(he)))))
Pele = `+`(`*`(408.6, `*`(W_)))
`/`(`*`(Pele), `*`(A))
`+`(`/`(`*`(681.1, `*`(W_)), `*`(`^`(m_, 2))))
`/`(`*`(Pele), `*`(A)) = `*`(he, `*`(`+`(T2, `-`(Te))))
`+`(`*`(287.1, `*`(K_)))
T2_ = `+`(`*`(13.9, `*`(C)))

i.e. la temperatura de la cara externa pasara de -0,1 ºC a 14 ºC.

En la realidad no se calienta tanto (la potencia tpica es de unos 250 W).

El modelo unidimensional no será bueno para estimar las temperaturas si la resistencia eléctrica consiste en un hilo serpenteante con gran separación vertical como es usual (distancia entre hilos de varios centímetros). En efecto, al conectar la luneta térmica se ve que el desempañado y el desescarch está muy localizado en torno a los hilos.

La escarcha consume mucha energa en fundir, así que conviene retirar a mano la mayor parte.

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