El solsticio en que la Antártida está iluminada de día y de noche es el solsticio sur o solsticio de diciembre (cerca del 21 de diciembre de cada año), que en Europa llamamos solsticio de invierno (nuestro).

Tomaremos para el globo blanco alpha=0.2, epsilon=0.8, aunque en realidad estos globos son semitransparentes y, aunque la absortancia solar global sí que se aproxima a alpha=0,2, la reflectancia no es la de cuerpo opaco (rho=1-alpha=1-0,2=0,8) sino mucho menor (rho=0,25 o así). La emisividad global también es algo menor (unos 0,6 en vez de 0,8). La irradiancia solar es la de enero, E=E0·(1+e)^2=1361·(1+0,0167)^2=1407 W/m2.

Cuidado que vamos a usar G=Globo y B=Barquilla, pero se podría haber usado B=Balloon y G=Gondola.

a) Calcular los factores de vista desde el globo a tierra, y desde la barquilla al globo y a tierra, así como la elevación del sol a mediodía y a medianoche, despreciando el efecto de las nubes.

Si la Tierra fuese plana e infinita sería F12=1/2. Desde una esfera hacia otra mucho mayor es F12=(1-sqrt(1-1/h^2))/2, por lo que, desde el globo a la tierra (tomanodo R=6370 km, sin nubes) es:

>	eqF12:=F[12]=(1-sqrt(1-1/h^2))/2;eqh:=h=(Z+R[T])/R[T]; eqhGT:=subs(dat,%);eqF12GT:=subs(eqhGT,eqF12);

	(1)

i.e. el 44% de lo que emite el globo va a la tierra (y el 56% restante al cielo). Desde la barquilla al globo y a la tierra:

>	eqhBT:=subs(dat,eqh);eqF12BT:=subs(eqhGT,eqF12);eqh:=h=(L+R[G])/R[G];eqRG:=R[G]=D/2;eqRG_:=subs(dat,%);eqhGT:=evalf(subs(%,dat,eqh));eqF12BG:=subs(eqhGT,eqF12);

	(2)

i.e. el 44% de lo que emite la barquilla va a tierra, y solo el 7,3% al globo (el 49% restante va al cielo).

Elevación solar a mediodía y a medianoche. En el solsticio iluminado la declinación solar es delta=-23,5º y las elevaciones solares:

>	eqNoon:=alpha[s]=Pi/2-abs(phi-delta);eqNoon_:=alpha[s]=evalf(subs(dat,rhs(%)));alpha[s]=evalf(rhs(%)*180/Pi)*'º';eqMidnight:=alpha[s]=abs(-phi-delta)-Pi/2;eqMidnight_:=alpha[s]=evalf(subs(dat,rhs(%)));alpha[s]=evalf(rhs(%)*180/Pi)*'º';

	(3)

i.e. a mediodía el sol está a 35.8º por encima del horizonte, y a medianoche a 11.4º.

b) Plantear el balance térmico estacionario del globo considerado isotermo, calculando las cargas térmicas suponiendo que en la Antártida el albedo es s=0,9 y la emisión infrarroja terrestre por encima de la atmósfera es M=160 W/m2.

Suponer el globo isotermo parece muy drástico (dándole el sol por un lado): la conducción por la delgada capa sólida será despreciable, y la convección natural del gas interior (helio) y del aire exterior no serán muy efectivas; la mayor uniformización será por radiación infrarroja por el interior.

Aunque no es un cuerpo negro, al ser la tierra tan grande y el espacio de fondo tan frío, quedan desacoplados y el balance térmico (la barquilla apenas cuenta) es:

>	eqBE:=m*c*dT/dt=Qs+Qa+Qp-Qinf;eqQs:=Qs=alpha*E*A/4;eqA:=A=Pi*D^2;eqA_:=evalf(subs(dat,%));eqQs_:=subs(eqA,dat,eqQs);

	(4)

i.e. el globo absorbe del sol directamente 3,7 MW en todo momento. Para el sol reflejado hay que tener en cuenta la irradiancia horizontal, que varía con la altura solar.

Para la entrada por albedo vamos a considerar que el casquete visible desde el globo está uniformemente iluminado por el sol (e.g. con una elevación de 35,5º a mediodía, pese a que en la zona del casquete más próxima al sol sería 35,5+6,4=41,9º y en la zona más alejada 35,5-6,4=29,1º, y las reflexiones serían en ellos de sin41,9=0,67 y sin29,1=0,49, en vez de sin35,5=0,58 aplicado a toda el área; no hay que olvidar que, debido a los factores de vista, la zona que más influye es la tierra más próxima).

Para ver el tamaño del casquete, sea theta[H] el semi-ángulo:

>	eqCap:=theta[H]=arccos(R[T]/(R[T]+Z));eqCap_:=evalf(subs(dat,%));evalf(rhs(%)*180/Pi)*'º';Rc:=theta[H]*R[T];Rc_:=evalf(subs(eqCap_,dat,%));

	(5)

i.e. la tangente a la tierra desde el globo está 6,4º por debajo del plano horizontal, a una distancia esférica de 712 km (712·cos6,4º=708 km en proyección plana). Considerando plano ese casquete, la radiación solar reflejada que absorbe el globo sería:

>	eqQa:=Qa=alpha*A*F[12]*E*sin(alpha[s])*rho[T];eqQa_Noon:=subs(dat,evalf(subs(eqNoon,eqF12GT,eqA,dat,eqQa)));eqQa_Midn:=subs(dat,evalf(subs(eqMidnight,eqF12GT,eqA,dat,eqQa)));

	(6)

i.e. de albedo absorbe 3,5 MW a mediodía y 1,2 MW a medianoche..

La absorción de la emisión infrarroja planetaria es:

>	eqQp:=Qp=epsilon*A*F[12]*M;eqQp_:=subs(eqF12GT,eqA,dat,eqQp)

	(7)

i.e. se absorben 3 MW de IR.

c) Calcular la temperatura del globo.

Como toda esa energía ha de emitirse en el IR por toda el área del globo (también la que apunta a la tierra), la temperatura estacionaria, despreciando la Tinf^4, sería:

>	eqQinf:=epsilon*A*sigma*T[G]^4;'Qinf=Qs+Qa+Qp';eqTG:=T[G]=sqrt(sqrt(('Qs+Qa+Qp')/(epsilon*A*sigma)));TG_Noon:=evalf(subs(eqA,eqQs_,eqQa_Noon,eqQp_,dat,SI0,rhs(eqTG)))*K_;'TG_Noon'=TKC(%);TG_Midn:=evalf(subs(eqA,eqQs_,eqQa_Midn,eqQp_,dat,SI0,rhs(eqTG)))*K_;'TG_Midn'=TKC(%);

	(8)

i.e. el globo quedaría a -18 ºC a mediodía, y a -34 ºC a medianoche. En realidad, en este tipo de globos suele haber una diferencia de hasta 50 ºC entre la zona que apunta al sol y la opuesta.

d) Plantear el balance térmico estacionario de la barquilla considerada isoterma.

Ahora, además de las cargas terrestres en ambas bandas (Qa y Qp) hay qua añadir las cargas debidas al globo en ambas bandas (QaG y Qg). Los correspondientes Qs, Qa, y Qp para la barquilla, considerada como cuerpo negro, son:

>

eqBE:=m*c*dT/dt=Qs+Qa+QaG+Qp+Qg-Qinf;eqQs:=Qs=E*Ab/4;eqAb:=Ab=Pi*d^2;eqAb_:=evalf(subs(dat,%));eqQs_:=evalf(subs(eqAb,dat,eqQs));eqQa:=Qa=Ab*F[GT]*rho[T]*E*sin(alpha[s]);eqQa_Noon:=subs(dat,evalf(subs(eqNoon_,F[GT]=rhs(eqF12GT),eqAb,dat,eqQa)));eqQa_Midn:=subs(dat,evalf(subs(eqMidnight_,F[GT]=rhs(eqF12GT),eqAb,dat,eqQa)));eqQp:=Qp=Ab*F[GT]*M;eqQp_:=subs(dat,evalf(subs(F[GT]=rhs(eqF12GT),eqAb,dat,eqQp)));

	(9)

i.e. la barquilla esférica de 2 m de diámetro absorbe 4,4 kW del sol directo, 4,1 kW del albedo terrestre a mediodía (1,4 kW a medianoche), y 0,9 kW de infrarrojo terrestre.

Además recibe las cargas térmicas del globo (albedo más IR). La de IR con el modelo isotermo es fácil de calcular sabiendo la temperatura del globo:

>	eqQg:=Qg=epsilon*Ab*F[BG]*sigma*'TG'^4;eqQg_Noon:=subs(TG=TG_Noon,F[BG]=rhs(eqF12BG),eqAb,dat,eqQg);eqQg_Midnight:=subs(TG=TG_Midn,F[BG]=rhs(eqF12BG),eqAb,dat,eqQg);

	(10)

i.e. del globo recibe en el IR 176 W a mediodía y 137 W a medianoche. Pero lo que recibe por reflexión solar en el globo es muy complicado porque el modelo de irradiancia solar uniforme no es bueno, y porque además habría que tener en cuenta la doble reflexión solar que le llegaría de la tierra.

Sea theta[G] el semi-ángulo con el que se ve el globo desde la barquilla::

>	eqcap:=theta[G]=arcsin(R[G]/(L+R[G]));eqcap_:=evalf(subs(eqRG,dat,%));'theta[G]'=evalf(rhs(%)*180/Pi)*'º';'alpha[G]'=evalf((Pi/2-rhs(eqcap_))*180/Pi)*'º';

	(11)

i.e. desde la barquilla el globo abarca un semiángulo de 31,3º, lo que significa que tapa el cielo desde una elevación de 58,7º desde el plano horizontal que pasa por la barquilla. Como la elevación máxima del sol en McMurdo es de 35,8º, el globo nunca le tapa el sol a la barquilla.

La reflexión solar directa en el globo que llega a la barquilla no será muy grande porque el sol incide por arriba. El máximo sería a medianoche, con el sol sólo 11,4º por encima del plano horizontal, por lo que desde la barquilla solo se vería iluminada por el sol una parte de globo en forma de luna, correspondiente a ángulos centrados en el globo desde 11,4º hasta 58,7º, como se muestra en la figura. Luego estimaremos su valor.

La reflexión solar indirecta será mayor debido a las grandes reflectancias de la tierra rho[T]=0,9 y del globo, rho[G]=1-alpha=1-0,2=0,8. El valor máximo de esta re-reflectancia será a mediodía:

>	eqMrere:=Mrr=E*sin(alpha[s])*rho[T]*(1-alpha);eqMrereNoon_:=subs(dat,evalf(subs(eqNoon_,dat,%)));eqMrereMidnight_:=subs(dat,evalf(subs(eqMidnight_,dat,eqMrere)));

	(12)

i.e. de los E=1400 W/m2 de irradiancia normal en el solsticio, sobre una superficie horizontal a mediodía solo llegan E·sin(alpha)=823 W/m2 a la tierra, reflejándose 740 W/m2 hacia arriba de forma difusa, que llegan a la parte baja del globo (a un plana horizontal a 40 km de altitud con el modelo de tierra plana), del cual se reflejan 592 W/m2 hacia abajo. Suponiendo que toda el área del globo visible desde la barquilla reflejase lo mismo (reflejará menos porque llega menos a las zonas laterales), la absorción en la barquilla sería:

>	eqQaGind:=QaGind=Ab*F[BG]*Mrr;eqQaGindNoon_:=subs(F[BG]=F[12],eqF12BG,eqAb,eqMrereNoon_,dat,%);eqQaGindMidnight_:=subs(F[BG]=F[12],eqF12BG,eqAb,eqMrereMidnight_,dat,eqQaGind);

	(13)

que vemos que son bastante menores que la carga por albedo terrestre (4,1 kW) pero mayores que el IR del globo (177 W).

La reflexión solar directa en el globo es más difícil de estimar. Desde la barquilla, el lado iluminado del globo se ve como una luna (mayor a medianoche por estar más bajo el sol). Con la siguiente aproximación sería:

>	eqQaGdir:=QaGdir=Ab*F[BG]*rho[G]*E*((1+cos(phi))/2)^2*(1-(phi/phiee)^2);

(14)

estando los ángulos ahora referidos a la dirección solar, y siendo phi=90+11,5=101,5º y el phi de entrada en eclipse (si el globo fuese un planeta y la barquilla un satélite) sería  phiee=Pi-arcsin(RG/(RG+L))=Pi-arcsin(65/125)=149º. Por tanto:

>	eqQaGdirMidnight_:=subs(dat,evalf(subs(phi=101.5,phiee=149,eqAb_,F[BG]=rhs(eqF12BG),rho[G]=1-alpha,dat,eqQaGdir)));eqQaGdirNoon_:=subs(dat,evalf(subs(phi=125.7,phiee=149,eqAb_,F[BG]=rhs(eqF12BG),rho[G]=1-alpha,dat,eqQaGdir)));

	(15)

i.e. la barquilla recibe por reflexión solar directa en el globo 324 W a mediodía y 370 W a medianoche.

En resumen:

>	QaG_Noon_:=rhs(eqQaGindNoon_)+rhs(eqQaGdirNoon_);QaG_Midnight_:=rhs(eqQaGindMidnight_)+rhs(eqQaGdirMidnight_);

	(16)

e) Calcular la temperatura de la barquilla.

>

eqBE;eqQinf:=epsilon*Ab*sigma*T[B]^4;'Qinf=Qs+Qa+Qp+QaG+Qg';eqTB:=T[B]=sqrt(sqrt(('Qs+Qa+Qp+QaG+Qg')/(Ab*sigma)));TB_Noon:=evalf(subs(eqAb,eqQs_,eqQa_Noon,eqQp_,eqQg_Noon,QaG=QaG_Noon_,eqAb,dat,SI0,rhs(eqTB)))*K_;'TB_Noon'=TKC(%);TB_Midn:=evalf(subs(eqA,eqQs_,eqQa_Midn,eqQp_,eqQg_Midnight,QaG=QaG_Midnight_,eqAb,dat,SI0,rhs(eqTB)))*K_;'TB_Midn'=TKC(%);

	(17)

i.e. la barquilla quedaría a 75 ºC a mediodía, y a 46 ºC a medianoche, en ambos casos mucho más caliente (por ser negra) que el globo (que es blanco). En la realidad, estos globos son de una delgada capa  de polietileno (o varias); tan delgada que es dejan pasar más del 50% de las radiaciones solares e infrarrojas (también son un poco permeables al helio y demás gases, lo que limita su vida).

Pueden verse más detalles de un caso similar para un globo ártico.

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