> restart:#"m18_p44"

Considérese el siguiente problema para el aire acondicionado de un avión con 200 pasajeros volando en crucero a 250 m/s con unas condiciones exteriores de 22 kPa y 55 ºC. Se quiere que las condiciones en cabina sean de 82 kPa y 22 ºC; se estima que la pérdida de calor por las paredes es de 60 kW, y la ganancia interior es de 15 kW debido a los equipos, más 100 W por pasajero, y las normas exigen una entrada de aire exterior de 6 g/s por pasajero. Suponiendo un rendimiento isentrópico del 85% para compresores y turbinas, se pide:

a) ¿Se trata de un problema de calefacción o de refrigeración? Determinar la temperatura a la que hay que introducir el aire en la cabina, suponiendo que la mezcla en ella es muy eficiente y el aire viciado sale a la temperatura de cabina (sin recirculación).

b) Si ese aire se toma del exterior (comprimido dinámicamente) a través de un compresor que lo comprime hasta la presión de cabina, ¿a qué temperatura saldría del compresor? ¿Qué potencia se necesitaría?

c) En lugar de comprimir hasta la presión de cabina, se va a extraer el aire necesario de una etapa intermedia del compresor del motor principal, a 200 kPa. Este flujo sangrado se enfría en un cambiador de calor CC1 (con aire exterior) de donde sale a 160 kPa y 110 ºC; luego pasa por un compresor C que lo comprime hasta 300 kPa; posteriormente se enfría en otro cambiador CC2 del que sale a 250 kPa y 140 ºC, y finalmente se expande en una turbina T (que mueve el compresor C) antes de entrar en cabina. Hacer un esquema de la instalación, y del proceso que sufre el aire en un diagrama T-s.

d) Determinar los estados intermedios y la temperatura de salida de la turbina.

e) Determinar el balance neto de potencia de la turbina T y el compresor C (que van montados en un mismo eje).

Datos:

> read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):with(RealDomain):

> su1:="Aire":dat:=[per=200*pax_,v0=250*m_/s_,T0inf=(-55+273.15)*K_,p0inf=22e3*Pa_,Tcab=(22+273.15)*K_,pcab=82e3*Pa_,Qout=60e3*W_,Qin0=15e3*W_,qper=100*W_/pax_,mper=0.006*kg_/(s_*pax_),eta[C]=0.85,p1t=200e3*Pa_,p2t=160e3*Pa_,T2t=(110+273.15)*K_,p3t=300e3*Pa_,p4t=250e3*Pa_,T4t=(140+273.15)*K_,eta[T]=0.85];

[per = `+`(`*`(200, `*`(pax_))), v0 = `+`(`/`(`*`(250, `*`(m_)), `*`(s_))), T0inf = `+`(`*`(218.15, `*`(K_))), p0inf = `+`(`*`(0.22e5, `*`(Pa_))), Tcab = `+`(`*`(295.15, `*`(K_))), pcab = `+`(`*`(0.82...
[per = `+`(`*`(200, `*`(pax_))), v0 = `+`(`/`(`*`(250, `*`(m_)), `*`(s_))), T0inf = `+`(`*`(218.15, `*`(K_))), p0inf = `+`(`*`(0.22e5, `*`(Pa_))), Tcab = `+`(`*`(295.15, `*`(K_))), pcab = `+`(`*`(0.82...
[per = `+`(`*`(200, `*`(pax_))), v0 = `+`(`/`(`*`(250, `*`(m_)), `*`(s_))), T0inf = `+`(`*`(218.15, `*`(K_))), p0inf = `+`(`*`(0.22e5, `*`(Pa_))), Tcab = `+`(`*`(295.15, `*`(K_))), pcab = `+`(`*`(0.82...
[per = `+`(`*`(200, `*`(pax_))), v0 = `+`(`/`(`*`(250, `*`(m_)), `*`(s_))), T0inf = `+`(`*`(218.15, `*`(K_))), p0inf = `+`(`*`(0.22e5, `*`(Pa_))), Tcab = `+`(`*`(295.15, `*`(K_))), pcab = `+`(`*`(0.82...

> Adat:=get_gas_data(su1):dat:=op(dat),op(dat),Adat,Const,Gamma=0.0065*K_/m_,SI2,SI1:eqTt:=Tt=T+v^2/(2*c[p]);eqpt:=pt=p*(Tt/T)^(gamma/(gamma-1));

Tt = `+`(T, `/`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(v, 2))), `*`(c[p])))
pt = `*`(p, `*`(`^`(`/`(`*`(Tt), `*`(T)), `/`(`*`(gamma), `*`(`+`(gamma, `-`(1)))))))

Image

Por curiosidad calculamos la altitud de vuelo ISA y el número de Mach.

> pISA:=p0*(1-Gamma*z/T0)^(g/(R*Gamma));zISA:=(T0/Gamma)*(1-(p/p0)^(R*Gamma/g));z_:=subs(p=p0inf,dat,zISA);Ma:=v0/sqrt(gamma*R*T0inf);Ma_:=subs(dat,SI0,Ma);

`*`(p0, `*`(`^`(`+`(1, `-`(`/`(`*`(Gamma, `*`(z)), `*`(T0)))), `/`(`*`(g), `*`(R, `*`(Gamma))))))
`/`(`*`(T0, `*`(`+`(1, `-`(`^`(`/`(`*`(p), `*`(p0)), `/`(`*`(R, `*`(Gamma)), `*`(g))))))), `*`(Gamma))
`+`(`*`(11078.121019692377734, `*`(m_)))
`/`(`*`(v0), `*`(`^`(`*`(gamma, `*`(R, `*`(T0inf))), `/`(1, 2))))
.84497348188826467417

i.e. vuela a 11 km de altitud-presión y a M=0,84.

a) ¿Se trata de un problema de calefacción o de refrigeración? Determinar la temperatura a la que hay que introducir el aire en la cabina, suponiendo que la mezcla en ella es muy eficiente y el aire viciado sale a la temperatura de cabina. (sin recirculación).

En principio, se trata de un problema de calefacción porque las pérdidas térmicas (60 kW) superan a las ganacias (15 kW+100·200=35 kW), pero como para la renovación del aire en la cabina hay que comprimir el aire exterior, y al comprimirlo rápidamente se calienta mucho, al final hay que enfriar el aire comprimido (de aporte) antes de meterlo en la cabina.

En régimen estacionario (el gasto de aire que entra va evacuándose a la atmósfera):

> eqBE:=dE/dt=Qdot+Wdot+mdot*c[p]*(Tin-Tcab);eqBE:=0=Qin0+qper*per-Qout+mdot*c[p]*(Tin-Tcab);eqm:=mdot=mper*per;eqm_:=subs(dat,%);Qin=subs(eqm_,dat,Qin0+qper*per);Qout=subs(dat,Qout);eqBE_:=subs(eqm_,dat,eqBE);Tin_:=subs(dat,solve(%,Tin));'Tin_'=TKC(%);

`/`(`*`(dE), `*`(dt)) = `+`(Qdot, Wdot, `*`(mdot, `*`(c[p], `*`(`+`(Tin, `-`(Tcab))))))
0 = `+`(Qin0, `*`(qper, `*`(per)), `-`(Qout), `*`(mdot, `*`(c[p], `*`(`+`(Tin, `-`(Tcab))))))
mdot = `*`(mper, `*`(per))
mdot = `+`(`/`(`*`(1.200, `*`(kg_)), `*`(s_)))
Qin = `+`(`*`(35000., `*`(W_)))
Qout = `+`(`*`(0.60e5, `*`(W_)))
0 = `+`(`-`(`*`(25000., `*`(W_))), `/`(`*`(1204.800, `*`(kg_, `*`(`^`(m_, 2), `*`(`+`(Tin, `-`(`*`(295.15, `*`(K_)))))))), `*`(`^`(s_, 3), `*`(K_))))
`+`(`*`(315.90033200531208499, `*`(K_)))
Tin_ = `+`(`*`(42.75033200531208499, `*`(C)))

i.e. hay que introducir en cabina 1,2 kg/s de aire exterior a 43 ºC (aire caliente, para calefacción).

b) Si ese aire se toma del exterior (comprimido dinámicamente) a través de un compresor que lo comprime hasta la presión de cabina, ¿a qué temperatura saldría del compresor? ¿Qué potencia se necesitaría?

> T0t_:=subs(T=T0inf,v=v0,dat,rhs(eqTt));'T0t_'=TKC(%);p0t_:=subs(p=p0inf,Tt=T0t_,T=T0inf,dat,rhs(eqpt));p1t_:=subs(dat,pcab);T1t:=T0t*(1+((p1t/p0t)^((gamma-1)/gamma)-1)/eta[C]);T1t_:=subs(T0t=T0t_,p0t=p0t_,p1t=p1t_,dat,%);'T1t_'=TKC(%);Wcomp:='mdot*c[p]*(T1t_-T0t_)';Wcomp_:=subs(eqm_,dat,%);Qsobra:=mdot*c[p]*('T1t'-Tin);Qsobra_:=subs(eqm_,T0t=T0t_,p0t=p0t_,T1t=T1t_,p1t=p1t_,Tin=Tin_,dat,%);

`+`(`*`(249.27549800796812749, `*`(K_)))
T0t_ = `+`(`-`(`*`(23.87450199203187251, `*`(C))))
`+`(`*`(35097.520364702720305, `*`(Pa_)))
`+`(`*`(0.82e5, `*`(Pa_)))
`*`(T0t, `*`(`+`(1, `/`(`*`(`+`(`^`(`/`(`*`(p1t), `*`(p0t)), `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))), `-`(1))), `*`(eta[C])))))
`+`(`*`(329.68653915893580463, `*`(K_)))
T1t_ = `+`(`*`(56.53653915893580463, `*`(C)))
`*`(mdot, `*`(c[p], `*`(`+`(T1t_, `-`(T0t_)))))
`+`(`*`(96879.222378685857418, `*`(W_)))
`*`(mdot, `*`(c[p], `*`(`+`(T1t, `-`(Tin)))))
`+`(`*`(16609.622378685857422, `*`(W_)))

i.e. al compresor entraría a T0t=-24 ºC y saldría a T1t=57 ºC, consumiendo 97 kW en la compresión. Como el aire habría de entrar en cabina a Tin=43 ºC, sería necesario enfriarlo.

c) En lugar de comprimir hasta la presión de cabina, se va a extraer el aire necesario de una etapa intermedia del compresor del motor principal, a 200 kPa. Este flujo sangrado se enfría en un cambiador de calor CC1 (con aire exterior) de donde sale a 160 kPa y 140 ºC; luego pasa por un compresor C que lo comprime hasta 300 kPa; posteriormente se enfría en otro cambiador CC2 del que sale a 250 kPa y 140 ºC, y finalmente se expande en una turbina T (que mueve el compresor C) antes de entrar en cabina. Hacer un esquema de la instalación, y del proceso que sufre el aire en un diagrama T-s.

(Ver esquema arriba.)

>

d) Determinar los estados intermedios y la temperatura de salida de la turbina.

Salida del motor (1). Salida del primer cambiador (2).

> p1t_:=subs(dat,p1t);T1t:=T0t*(1+((p1t/p0t)^((gamma-1)/gamma)-1)/eta[C]);T1t_:=subs(T0t=T0t_,p0t=p0t_,p1t=p1t_,dat,%);'T1t_'=TKC(%);Qcc12:=mdot*c[p]*('T1t'-T2t);T2t=subs(dat,T2t);Qcc12_:=subs(eqm_,T0t=T0t_,p0t=p0t_,dat,Qcc12);

`+`(`*`(0.200e6, `*`(Pa_)))
`*`(T0t, `*`(`+`(1, `/`(`*`(`+`(`^`(`/`(`*`(p1t), `*`(p0t)), `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))), `-`(1))), `*`(eta[C])))))
`+`(`*`(438.02923197988454148, `*`(K_)))
T1t_ = `+`(`*`(164.87923197988454148, `*`(C)))
`*`(mdot, `*`(c[p], `*`(`+`(T1t, `-`(T2t)))))
T2t = `+`(`*`(383.15, `*`(K_)))
`+`(`*`(66118.498689364895575, `*`(W_)))

Salida del compresor auxiliar (3). Salida del segundo cambiador (4). Salida de la turbina (5).

> p2t=subs(dat,p2t);p3t=subs(dat,p3t);T3t:=T2t*(1+((p3t/p2t)^((gamma-1)/gamma)-1)/eta[C]);T3t_:=subs(dat,%);'T3t_'=TKC(%);Qcc34:=mdot*c[p]*('T3t'-T4t);T4t=subs(dat,T4t);Qcc34_:=subs(eqm_,dat,Qcc34);p4t=subs(dat,p4t);T5t:=T4t*(1-eta[T]*(1-(p5t/p4t)^((gamma-1)/gamma)));p5t:=pcab;T5t_:=subs(dat,T5t);'T5t_'=TKC(%);

p2t = `+`(`*`(0.160e6, `*`(Pa_)))
p3t = `+`(`*`(0.300e6, `*`(Pa_)))
`*`(T2t, `*`(`+`(1, `/`(`*`(`+`(`^`(`/`(`*`(p3t), `*`(p2t)), `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))), `-`(1))), `*`(eta[C])))))
`+`(`*`(471.77757297436703090, `*`(K_)))
T3t_ = `+`(`*`(198.62757297436703090, `*`(C)))
`*`(mdot, `*`(c[p], `*`(`+`(T3t, `-`(T4t)))))
T4t = `+`(`*`(413.15, `*`(K_)))
`+`(`*`(70634.499919517398828, `*`(W_)))
p4t = `+`(`*`(0.250e6, `*`(Pa_)))
`*`(T4t, `*`(`+`(1, `-`(`*`(eta[T], `*`(`+`(1, `-`(`^`(`/`(`*`(p5t), `*`(p4t)), `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma)))))))))))
pcab
`+`(`*`(317.41060636053752693, `*`(K_)))
T5t_ = `+`(`*`(44.26060636053752693, `*`(C)))

i.e. la temperatura final de salida es de 44 ºC, aproximadamente la deseada (43 ºC) dentro de la precisión de este análisis.

e) Determinar el balance neto de potencia de la turbina T y el compresor C (que van montados en un mismo eje).

Balance energético del rodete.

> eqBEeje:=Wdotnet=WdotT-WdotC;WdotT:=mdot*c[p]*(T4t-T5t);WdotT_:=subs(eqm_,dat,%);WdotC:=mdot*c[p]*(T3t-T2t);WdotC_:=subs(eqm_,dat,%);Wdotnet_:=WdotT_-WdotC_;

Wdotnet = `+`(WdotT, `-`(WdotC))
`*`(mdot, `*`(c[p], `*`(`+`(T4t, `-`(`*`(T4t, `*`(`+`(1, `-`(`*`(eta[T], `*`(`+`(1, `-`(`^`(`/`(`*`(pcab), `*`(p4t)), `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))))))))))))))))
`+`(`*`(115346.82145682438755, `*`(W_)))
`*`(mdot, `*`(c[p], `*`(`+`(`*`(T2t, `*`(`+`(1, `/`(`*`(`+`(`^`(`/`(`*`(p3t), `*`(p2t)), `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))), `-`(1))), `*`(eta[C]))))), `-`(T2t)))))
`+`(`*`(106778.49991951739883, `*`(W_)))
`+`(`*`(8568.32153730698872, `*`(W_)))

i.e. la turbina proporciona 115 kW, suficientes para mover el compresor C. En realidad, ha de sobrar potencia porque conviene ayudar con un ventilador a forzar el flujo de aire externo a través de los cambiadores.

Conclusión: esta solución satisface los requisitos, y, aunque le quita más potencia al motor principal (se extrae a 200 kPa en vez de a 82 kPa), los cambiadores de calor son mucho más compactos porque el primero ha de evacuar 106 kW con un salto a través de T2t-T0t=140-(-24)=164 K (en el apartado anterior eran 75 kW con 67 K de salto, sin contabilizar la pérdida de presión), y el segundo es similar (ha de evacuar 115 kW con un salto a través de T2t-T0t=140-(-24)=164 K).

Esta solución es la que realmente se usa en acondicionamiento de aire en cabina, entre otras cosas por su versatilidad para poder actuar como calefactor (en crucero, y en tierra en invierno), y como refrigerador (en tierra en verano).

Además de este aire exterior (renovación), para una mejor ventilación y control, en cabina se introduce el doble de aire del caudal mínimo antedicho, recirculándose una mitad y eliminándose la otra mitad.

>

Podemos representar el proceso en un diagrama T-s (tomamos s0=200 J/(kg·K) para que quede a la derecha del eje de ordenadas).

> s='s0_+c[p]*ln(T/T0t_)-R*ln(p/p0t_)';s0_:=200;s_:=subs(dat,SI0,s0_+c[p]*ln(T/T0t_)-R*ln(p/p0t_));s1_:=evalf(subs(T=T1t_,p=p1t_,SI0,s_));s2_:=evalf(subs(T=T2t,p=p2t,dat,SI0,s_));s3_:=evalf(subs(T=T3t_,p=p3t,dat,SI0,s_));s4_:=evalf(subs(T=T4t,p=p4t,dat,SI0,s_));s5_:=evalf(subs(T=T5t_,p=p5t,dat,SI0,s_));

s = `+`(s0_, `*`(c[p], `*`(RealDomain:-ln(`/`(`*`(T), `*`(T0t_))))), `-`(`*`(R, `*`(RealDomain:-ln(`/`(`*`(p), `*`(p0t_)))))))
200
`+`(200, `*`(1004., `*`(ln(`+`(`*`(0.40116257233113013570e-2, `*`(T)))))), `-`(`*`(286.68965517241379310, `*`(ln(`+`(`*`(0.28492041306875101954e-4, `*`(p))))))))
267.08827551989493707
196.66669652531985487
225.36449441128838254
144.40650335858578319
199.32245128333810478

las isobaras, T_pcte(p), las dibujo como T_pcte(s) pasando por un punto conocido, s_point=s(p,T).

> T_pcte:=T_pt*exp((s-s_pt)/c[p]);T_pcte0:=subs(T_pt=T0t_,s_pt=s0_,dat,SI0,T_pcte);T_pcte1:=subs(T_pt=T1t_,s_pt=s1_,dat,SI0,T_pcte);T_pcte2:=subs(T_pt=T2t,s_pt=s2_,dat,SI0,T_pcte);T_pcte3:=subs(T_pt=T3t_,s_pt=s3_,dat,SI0,T_pcte);T_pcte4:=subs(T_pt=T4t,s_pt=s4_,dat,SI0,T_pcte);T_pcte5:=subs(T_pt=T5t_,s_pt=s5_,dat,SI0,T_pcte);Tu:=273:plot([seq(T_pcte||i-Tu,i=0..5),subs(dat,SI0,[[s0_,T0t_-Tu],[s1_,T1t_-Tu],[s2_,T2t-Tu],[s3_,T3t_-Tu],[s4_,T4t-Tu],[s5_,T5t_-Tu]])],s=0..300,T=-60..250,color=black);

`*`(T_pt, `*`(exp(`/`(`*`(`+`(s, `-`(s_pt))), `*`(c[p])))))
`+`(`*`(249.27549800796812749, `*`(exp(`+`(`*`(0.99601593625498007968e-3, `*`(s)), `-`(.19920318725099601594))))))
`+`(`*`(438.02923197988454148, `*`(exp(`+`(`*`(0.99601593625498007968e-3, `*`(s)), `-`(.26602417880467623214))))))
`+`(`*`(383.15, `*`(exp(`+`(`*`(0.99601593625498007968e-3, `*`(s)), `-`(.19588316386984049290))))))
`+`(`*`(471.77757297436703090, `*`(exp(`+`(`*`(0.99601593625498007968e-3, `*`(s)), `-`(.22446662789968962404))))))
`+`(`*`(413.15, `*`(exp(`+`(`*`(0.99601593625498007968e-3, `*`(s)), `-`(.14383117864400974421))))))
`+`(`*`(317.41060636053752693, `*`(exp(`+`(`*`(0.99601593625498007968e-3, `*`(s)), `-`(.19852833793161165815))))))
Plot_2d

>