> restart:#"m13_p76"

Considérese una caja cúbica de 0,2 m de arista y 1 mm de espesor, de Al-6061 anodizado en negro, en órbita geoestacionaria con el sol perpendicular a una de sus caras, pudiéndose despreciar el efecto de otros cuerpos. Se pide:
a) Determinar la temperatura estacionaria suponiendo que la conductividad fuese dominante. Indicar el resultado que se obtendría si la conductividad fuese despreciable.
b) Considérese un modelo de dos nodos, siendo el nodo N1 la cara iluminada, y el nodo N2 el resto. Plantear las ecuaciones nodales en el régimen transitorio, y determinar todos los factores de vista.
c) Para el caso anterior, determinar las temperaturas nodales en régimen estacionario
d) Considérese un modelo de tres nodos, siendo el nodo N1 la cara iluminada, el nodo N2 la cara trasera, y el nodo N3 las cuatro caras laterales. Plantear las ecuaciones nodales en el régimen transitorio, y determinar todos los factores de vista.
e) Para el caso anterior, determinar las temperaturas nodales en régimen estacionario.
Datos:

> read`../therm_eq.m`:read`../therm_const.m`:read`../therm_proc.m`:with(therm_proc):

> dat:=[L=0.2*m_,delta=0.001*m_,E=1361*W_/m_^2,k=180*W_/(m_*K_),Tinf=2.7*K_];dat:=op(dat),Const,SI2,SI1:

Typesetting:-mprintslash([dat := [L = `+`(`*`(.2, `*`(m_))), delta = `+`(`*`(0.1e-2, `*`(m_))), E = `+`(`/`(`*`(1361, `*`(W_)), `*`(`^`(m_, 2)))), k = `+`(`/`(`*`(180, `*`(W_)), `*`(m_, `*`(K_)))), Ti...

Image

a) Determinar la temperatura media estacionaria suponiendo que la conductividad fuese dominante. Indicar el resultado que se obtendría si la conductividad fuese despreciable.

Recibe por una cara (de área L^2) y emite por las 6 caras por igual al exterior (no hay flujos de calor por el interior).

Supondremos radiación solar puntual (colimada), con una irradiancia solar media E=1360 W/m2,y despreciaremos los efectos terrestres (la GEO está muy lejos, a 6,6 radios terrestres; lo máximo sería un albedo menoe de 10 W/m2).

> eqEB0:=Qin_sun=Qout_rad;eqEB0:=E*L^2=6*L^2*sigma*(T^4-Tinf^4);eqT:=T0=(E/(6*sigma))^(1/4);evalf(subs(dat,%));eqEB0_:=evalf(subs(dat,SI0,eqEB0));T0_:=solve(%,T)[1]*K_;'T0_'=TKC(%);

Typesetting:-mprintslash([eqEB0 := Qin_sun = Qout_rad], [Qin_sun = Qout_rad])
Typesetting:-mprintslash([eqEB0 := `*`(E, `*`(`^`(L, 2))) = `+`(`*`(6, `*`(`^`(L, 2), `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T, 4)), `-`(`*`(`^`(Tinf, 4)))))))))], [`*`(E, `*`(`^`(L, 2))) = `+`(`*`(6, `*`(`^`(L, ...
Typesetting:-mprintslash([eqT := T0 = `+`(`*`(`/`(1, 6), `*`(`^`(6, `/`(3, 4)), `*`(`^`(`/`(`*`(E), `*`(sigma)), `/`(1, 4))))))], [T0 = `+`(`*`(`/`(1, 6), `*`(`^`(6, `/`(3, 4)), `*`(`^`(`/`(`*`(E), `*...
`+`(`*`(288.15, `*`(K_))) = `+`(`*`(251.4959258, `*`(`^`(`*`(`^`(K_, 4)), `/`(1, 4)))))
Typesetting:-mprintslash([eqEB0_ := 54.44 = `+`(`-`(0.7231849128e-6), `*`(0.136080e-7, `*`(`^`(T, 4))))], [54.44 = `+`(`-`(0.7231849128e-6), `*`(0.136080e-7, `*`(`^`(T, 4))))])
Typesetting:-mprintslash([T0_ := `+`(`*`(251.4959267, `*`(K_)))], [`+`(`*`(251.4959267, `*`(K_)))])
T0_ = `+`(`-`(`*`(21.6540733, `*`(C)))) (1)

i.e. todas las caras del cubo quedarían a -22 ºC (251 K).

Si la conductividad fuese despreciable. no habría flujo de calor por conducción en las esquinas, y no valdría el modelo de un solo nodo, pero al ser las temperaturas diferentes por darle el sol a la frontal, habría un flujo de calor por radiación entre ellas por el interior (se resuelve en el último apartado).

Si, además de k=0, se supone que las caras están aisladas por detrás (e.g. con MLI), la cara 1 recibiría radiación solar que habría de compensarse con la radiación propia hacia el espacio vacío, alcanzando una temperatura T=(E/sigma)^(1/4)=120 ºC, mientras que las otras cinco caras no estarían expuestas mas que a la radiación de fondo, por lo que alcanzarían Tinf=2.7 K. Este resultado es poco realista porque es muy difícil aislar tanto, y porque daría un poco el sol en las caras laterales (el Sol no es un foco puntual; el disco solar subtiende un semiángulo de 0,7/159=0,07 rad=4º); y también se notaría la inflencia de la Tierra (IR y albedo).  

b) Considérese un modelo de dos nodos, siendo el nodo N1 la cara iluminada, y el nodo N2 el resto. Plantear las ecuaciones nodales en el régimen transitorio, y determinar todos los factores de vista.

> eqBE1:=m1*c1*dT1/dt=Wdis1-Qrad1e-Qrad12-Qcond12;eqBE2:=m2*c2*dT2/dt='Qrad12'+'Qcond12'- Qrad2e;Wdis1:=E*L^2;Qrad1e:=L^2*sigma*(T1^4-Tinf^4);Qrad12:=A1*F12*sigma*(T1^4-T2^4);Qcond12:=4*k*L*delta*(T1-T2)/L;Qrad2e:=5*L^2*sigma*(T2^4-Tinf^4);

Typesetting:-mprintslash([eqBE1 := `/`(`*`(m1, `*`(c1, `*`(dT1))), `*`(dt)) = `+`(Wdis1, `-`(Qrad1e), `-`(Qrad12), `-`(Qcond12))], [`/`(`*`(m1, `*`(c1, `*`(dT1))), `*`(dt)) = `+`(Wdis1, `-`(Qrad1e), `...
Typesetting:-mprintslash([eqBE2 := `/`(`*`(m2, `*`(c2, `*`(dT2))), `*`(dt)) = `+`(Qrad12, Qcond12, `-`(Qrad2e))], [`/`(`*`(m2, `*`(c2, `*`(dT2))), `*`(dt)) = `+`(Qrad12, Qcond12, `-`(Qrad2e))])
Typesetting:-mprintslash([Wdis1 := `*`(E, `*`(`^`(L, 2)))], [`*`(E, `*`(`^`(L, 2)))])
Typesetting:-mprintslash([Qrad1e := `*`(`^`(L, 2), `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T1, 4)), `-`(`*`(`^`(Tinf, 4)))))))], [`*`(`^`(L, 2), `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T1, 4)), `-`(`*`(`^`(Tinf, 4)))))))])
Typesetting:-mprintslash([Qrad12 := `*`(A1, `*`(F12, `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T1, 4)), `-`(`*`(`^`(T2, 4))))))))], [`*`(A1, `*`(F12, `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T1, 4)), `-`(`*`(`^`(T2, 4))))))))])
Typesetting:-mprintslash([Qcond12 := `+`(`*`(4, `*`(k, `*`(delta, `*`(`+`(T1, `-`(T2)))))))], [`+`(`*`(4, `*`(k, `*`(delta, `*`(`+`(T1, `-`(T2)))))))])
Typesetting:-mprintslash([Qrad2e := `+`(`*`(5, `*`(`^`(L, 2), `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T2, 4)), `-`(`*`(`^`(Tinf, 4)))))))))], [`+`(`*`(5, `*`(`^`(L, 2), `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T2, 4)), `-`(`*`(... (2)

Con solo dos nodos, y el nodo 1 plano, por el interior F12=1, y F21=A1"F12/A2=1/5. Por fuera todos son convexos (F1,inf=1, F2,inf=1).

c) Para el caso anterior, determinar las temperaturas nodales en régimen estacionario.
Despreciando la conductividad térmica en los bordes.

> eqBE1st_k0:=subs(m1=0,k=0,eqBE1);eqBE2st_k0:=subs(m2=0,k=0,eqBE2);eqBE1st_k0_:=subs(A1=L^2,F12=1,dat,SI0,eqBE1st_k0);eqBE2st_k0_:=subs(A1=L^2,F12=1,dat,SI0,eqBE2st_k0);sol_:=fsolve({eqBE1st_k0_,eqBE2st_k0_},{T1,T2},{T1=100..500,T2=100..500});T1_:=subs(sol_,T1)*K_;'T1_'=TKC(%);T2_:=subs(sol_,T2)*K_;'T2_'=TKC(%);

Typesetting:-mprintslash([eqBE1st_k0 := 0 = `+`(`*`(E, `*`(`^`(L, 2))), `-`(`*`(`^`(L, 2), `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T1, 4)), `-`(`*`(`^`(Tinf, 4)))))))), `-`(`*`(A1, `*`(F12, `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(...
Typesetting:-mprintslash([eqBE2st_k0 := 0 = `+`(`*`(A1, `*`(F12, `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T1, 4)), `-`(`*`(`^`(T2, 4)))))))), `-`(`*`(5, `*`(`^`(L, 2), `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T2, 4)), `-`(`*`(`^...
Typesetting:-mprintslash([eqBE1st_k0_ := 0 = `+`(54.44000012, `-`(`*`(0.45360e-8, `*`(`^`(T1, 4)))), `*`(0.22680e-8, `*`(`^`(T2, 4))))], [0 = `+`(54.44000012, `-`(`*`(0.45360e-8, `*`(`^`(T1, 4)))), `*...
Typesetting:-mprintslash([eqBE2st_k0_ := 0 = `+`(`*`(0.22680e-8, `*`(`^`(T1, 4))), `-`(`*`(0.136080e-7, `*`(`^`(T2, 4)))), 0.6026540940e-6)], [0 = `+`(`*`(0.22680e-8, `*`(`^`(T1, 4))), `-`(`*`(0.13608...
Typesetting:-mprintslash([sol_ := {T1 = 338.2660471, T2 = 216.1327593}], [{T1 = 338.2660471, T2 = 216.1327593}])
Typesetting:-mprintslash([T1_ := `+`(`*`(338.2660471, `*`(K_)))], [`+`(`*`(338.2660471, `*`(K_)))])
T1_ = `+`(`*`(65.1160471, `*`(C)))
Typesetting:-mprintslash([T2_ := `+`(`*`(216.1327593, `*`(K_)))], [`+`(`*`(216.1327593, `*`(K_)))])
T2_ = `+`(`-`(`*`(57.0172407, `*`(C)))) (3)

i.e. sin conducción (solo radiación), la cara soleada quedaría a 65 ºC y las demás a -57 ºC.

Y considerando la conductividad térmica en los bordes.

> eqBE1st_k0:=subs(m1=0,eqBE1);eqBE2st_k0:=subs(m2=0,eqBE2);eqBE1st_k0_:=subs(A1=L^2,F12=1,dat,SI0,eqBE1st_k0);eqBE2st_k0_:=subs(A1=L^2,F12=1,dat,SI0,eqBE2st_k0);sol_:=fsolve({eqBE1st_k0_,eqBE2st_k0_},{T1,T2},{T1=100..500,T2=100..500});T1_:=subs(sol_,T1)*K_;'T1_'=TKC(%);T2_:=subs(sol_,T2)*K_;'T2_'=TKC(%);

Typesetting:-mprintslash([eqBE1st_k0 := 0 = `+`(`*`(E, `*`(`^`(L, 2))), `-`(`*`(`^`(L, 2), `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T1, 4)), `-`(`*`(`^`(Tinf, 4)))))))), `-`(`*`(A1, `*`(F12, `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(...
Typesetting:-mprintslash([eqBE2st_k0 := 0 = `+`(`*`(A1, `*`(F12, `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T1, 4)), `-`(`*`(`^`(T2, 4)))))))), `*`(4, `*`(k, `*`(delta, `*`(`+`(T1, `-`(T2)))))), `-`(`*`(5, `*`(`^`(L,...
Typesetting:-mprintslash([eqBE1st_k0_ := 0 = `+`(54.44000012, `-`(`*`(0.45360e-8, `*`(`^`(T1, 4)))), `*`(0.22680e-8, `*`(`^`(T2, 4))), `-`(`*`(.720, `*`(T1))), `*`(.720, `*`(T2)))], [0 = `+`(54.440000...
Typesetting:-mprintslash([eqBE2st_k0_ := 0 = `+`(`*`(0.22680e-8, `*`(`^`(T1, 4))), `-`(`*`(0.136080e-7, `*`(`^`(T2, 4)))), `*`(.720, `*`(T1)), `-`(`*`(.720, `*`(T2))), 0.6026540940e-6)], [0 = `+`(`*`(...
Typesetting:-mprintslash([sol_ := {T1 = 286.4774642, T2 = 242.4202872}], [{T1 = 286.4774642, T2 = 242.4202872}])
Typesetting:-mprintslash([T1_ := `+`(`*`(286.4774642, `*`(K_)))], [`+`(`*`(286.4774642, `*`(K_)))])
T1_ = `+`(`*`(13.3274642, `*`(C)))
Typesetting:-mprintslash([T2_ := `+`(`*`(242.4202872, `*`(K_)))], [`+`(`*`(242.4202872, `*`(K_)))])
T2_ = `+`(`-`(`*`(30.7297128, `*`(C)))) (4)

i.e. contando con la conducción, la cara soleada quedaría a 13 ºC y las demás a -31 ºC.

d) Considérese un modelo de tres nodos, siendo el nodo N1 la cara iluminada, el nodo N2 la cara trasera, y el nodo N3 las cuatro caras laterales. Plantear las ecuaciones nodales en el régimen transitorio, y determinar todos los factores de vista.

> Qrad2e:='Qrad2e':eqBE1:=m1*c1*dT1/dt='Wdis1-Qrad1e-Qrad12-Qrad13-Qcond13';eqBE2:=m2*c2*dT2/dt='Qrad12+Qrad32+Qcond32-Qrad2e';eqBE3:=m3*c3*dT3/dt=Qrad13-Qrad32+Qcond13-Qcond32- Qrad3e;

Typesetting:-mprintslash([eqBE1 := `/`(`*`(m1, `*`(c1, `*`(dT1))), `*`(dt)) = `+`(Wdis1, `-`(Qrad1e), `-`(Qrad12), `-`(Qrad13), `-`(Qcond13))], [`/`(`*`(m1, `*`(c1, `*`(dT1))), `*`(dt)) = `+`(Wdis1, `...
Typesetting:-mprintslash([eqBE2 := `/`(`*`(m2, `*`(c2, `*`(dT2))), `*`(dt)) = `+`(Qrad12, Qrad32, Qcond32, `-`(Qrad2e))], [`/`(`*`(m2, `*`(c2, `*`(dT2))), `*`(dt)) = `+`(Qrad12, Qrad32, Qcond32, `-`(Q...
Typesetting:-mprintslash([eqBE3 := `/`(`*`(m3, `*`(c3, `*`(dT3))), `*`(dt)) = `+`(Qrad13, `-`(Qrad32), Qcond13, `-`(Qcond32), `-`(Qrad3e))], [`/`(`*`(m3, `*`(c3, `*`(dT3))), `*`(dt)) = `+`(Qrad13, `-`... (5)

> Qrad2e:=L^2*sigma*(T3^4-Tinf^4);Qrad13:=A1*F13*sigma*(T1^4-T3^4);Qcond13:=4*k*L*delta*(T1-T3)/L;Qcond32:=4*k*L*delta*(T3-T2)/L;Qrad32=-Qrad23;Qrad32:=A1*F13*sigma*(T3^4-T2^4);Qrad13:=A1*F13*sigma*(T1^4-T3^4);Qrad3e:=4*L^2*sigma*(T3^4-Tinf^4);eqF12:=F12=0.2;;eqF13:=F13=1-F12;

Typesetting:-mprintslash([Qrad2e := `*`(`^`(L, 2), `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T3, 4)), `-`(`*`(`^`(Tinf, 4)))))))], [`*`(`^`(L, 2), `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T3, 4)), `-`(`*`(`^`(Tinf, 4)))))))])
Typesetting:-mprintslash([Qrad13 := `*`(A1, `*`(F13, `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T1, 4)), `-`(`*`(`^`(T3, 4))))))))], [`*`(A1, `*`(F13, `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T1, 4)), `-`(`*`(`^`(T3, 4))))))))])
Typesetting:-mprintslash([Qcond13 := `+`(`*`(4, `*`(k, `*`(delta, `*`(`+`(T1, `-`(T3)))))))], [`+`(`*`(4, `*`(k, `*`(delta, `*`(`+`(T1, `-`(T3)))))))])
Typesetting:-mprintslash([Qcond32 := `+`(`*`(4, `*`(k, `*`(delta, `*`(`+`(T3, `-`(T2)))))))], [`+`(`*`(4, `*`(k, `*`(delta, `*`(`+`(T3, `-`(T2)))))))])
Qrad32 = `+`(`-`(Qrad23))
Typesetting:-mprintslash([Qrad32 := `*`(A1, `*`(F13, `*`(sigma, `*`(`+`(`-`(`*`(`^`(T2, 4))), `*`(`^`(T3, 4)))))))], [`*`(A1, `*`(F13, `*`(sigma, `*`(`+`(`-`(`*`(`^`(T2, 4))), `*`(`^`(T3, 4)))))))])
Typesetting:-mprintslash([Qrad13 := `*`(A1, `*`(F13, `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T1, 4)), `-`(`*`(`^`(T3, 4))))))))], [`*`(A1, `*`(F13, `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T1, 4)), `-`(`*`(`^`(T3, 4))))))))])
Typesetting:-mprintslash([Qrad3e := `+`(`*`(4, `*`(`^`(L, 2), `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T3, 4)), `-`(`*`(`^`(Tinf, 4)))))))))], [`+`(`*`(4, `*`(`^`(L, 2), `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T3, 4)), `-`(`*`(...
Typesetting:-mprintslash([eqF12 := F12 = .2], [F12 = .2])
Typesetting:-mprintslash([eqF13 := F13 = `+`(1, `-`(F12))], [F13 = `+`(1, `-`(F12))]) (6)

e) Para el caso anterior, determinar las temperaturas nodales en régimen estacionario.
Vamos a resolver para k=0 y para el valor del Al-6061.

> eqBE1_:=subs(m1=0,A1=L^2,eqF13,eqF12,k=k_,dat,SI0,eqBE1);eqBE2_:=subs(m2=0,A1=L^2,eqF13,eqF12,k=k_,dat,SI0,eqBE2);;eqBE3_:=subs(m3=0,A1=L^2,eqF13,eqF12,k=k_,dat,SI0,eqBE3);

Typesetting:-mprintslash([eqBE1_ := 0 = `+`(54.44000012, `-`(`*`(0.453600e-8, `*`(`^`(T1, 4)))), `*`(0.45360e-9, `*`(`^`(T2, 4))), `*`(0.181440e-8, `*`(`^`(T3, 4))), `-`(`*`(0.4e-2, `*`(k_, `*`(`+`(T1...
Typesetting:-mprintslash([eqBE2_ := 0 = `+`(`*`(0.45360e-9, `*`(`^`(T1, 4))), `-`(`*`(0.226800e-8, `*`(`^`(T2, 4)))), `-`(`*`(0.45360e-9, `*`(`^`(T3, 4)))), `*`(0.4e-2, `*`(k_, `*`(`+`(T3, `-`(T2)))))...
Typesetting:-mprintslash([eqBE3_ := 0 = `+`(`*`(0.181440e-8, `*`(`^`(T1, 4))), `-`(`*`(0.1270080e-7, `*`(`^`(T3, 4)))), `*`(0.181440e-8, `*`(`^`(T2, 4))), `*`(0.4e-2, `*`(k_, `*`(`+`(T1, `-`(T3))))), ... (7)

Despreciando la conductividad:

> sol_:=fsolve(subs(k_=0,{eqBE1_,eqBE2_,eqBE3_}),{T1,T2,T3},{T1=100..500,T2=100..500,T3=100..500});T1_:=subs(sol_,T1)*K_;'T1_'=TKC(%);T2_:=subs(sol_,T2)*K_;'T2_'=TKC(%);T3_:=subs(sol_,T3)*K_;'T3_'=TKC(%);

Typesetting:-mprintslash([sol_ := {T1 = 338.2660471, T2 = 216.1327593, T3 = 216.1327593}], [{T1 = 338.2660471, T2 = 216.1327593, T3 = 216.1327593}])
Typesetting:-mprintslash([T1_ := `+`(`*`(338.2660471, `*`(K_)))], [`+`(`*`(338.2660471, `*`(K_)))])
T1_ = `+`(`*`(65.1160471, `*`(C)))
Typesetting:-mprintslash([T2_ := `+`(`*`(216.1327593, `*`(K_)))], [`+`(`*`(216.1327593, `*`(K_)))])
T2_ = `+`(`-`(`*`(57.0172407, `*`(C))))
Typesetting:-mprintslash([T3_ := `+`(`*`(216.1327593, `*`(K_)))], [`+`(`*`(216.1327593, `*`(K_)))])
T3_ = `+`(`-`(`*`(57.0172407, `*`(C)))) (8)

i.e., con k=0, T1=338 K, T2=216 K, T3=216 K. Casi coinciden T2 y T3 porque F12=0,1998 casi coincide con el de una cara adyacente, F12'=(1-F12)/4=0,20003, por eso este modelo de 3 nodos coincide con el de dos nodos.

Y teniendo en cuenta la conductividad:

> sol_:=fsolve(subs(k_=k,dat,SI0,{eqBE1_,eqBE2_,eqBE3_}),{T1,T2,T3},{T1=100..500,T2=100..500,T3=100..500});T1_:=subs(sol_,T1)*K_;'T1_'=TKC(%);T2_:=subs(sol_,T2)*K_;'T2_'=TKC(%);T3_:=subs(sol_,T3)*K_;'T3_'=TKC(%);

Typesetting:-mprintslash([sol_ := {T1 = 286.3470496, T2 = 234.9266433, T3 = 242.4632912}], [{T1 = 286.3470496, T2 = 234.9266433, T3 = 242.4632912}])
Typesetting:-mprintslash([T1_ := `+`(`*`(286.3470496, `*`(K_)))], [`+`(`*`(286.3470496, `*`(K_)))])
T1_ = `+`(`*`(13.1970496, `*`(C)))
Typesetting:-mprintslash([T2_ := `+`(`*`(234.9266433, `*`(K_)))], [`+`(`*`(234.9266433, `*`(K_)))])
T2_ = `+`(`-`(`*`(38.2233567, `*`(C))))
Typesetting:-mprintslash([T3_ := `+`(`*`(242.4632912, `*`(K_)))], [`+`(`*`(242.4632912, `*`(K_)))])
T3_ = `+`(`-`(`*`(30.6867088, `*`(C)))) (9)

y con k=180 W/(m·K), T1=286 K, T2=235 K, T3=242 K (mayor que T2, como se esperaba). Vemos la pequeña corrección respecto al modlo de dos nodos, donde era T1=286 K y T2=T3=242 K.

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