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Determinar la temperatura de equilibrio de la arena del desierto, suponiendo que está en régimen estacionario recibiendo una irradiancia solar de 1 kW/m2, en presencia de aire a 45 ºC con un coeficiente convectivo de 10 W/(m2•K), sabiendo que la arena refleja el 30% de la radiación solar (albedo), que la temperatura de radiación equivalente del cielo es de 15 ºC, y despreciando la conducción a través del suelo.

Datos:

> read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):

> su:="Arena":dat:=[E=1000*W_/m_^2,Tair=(45+273.15)*K_,h=10*W_/(m_^2*K_),albedo=0.3,Tsky=(15+273.15)];

[E = `+`(`/`(`*`(1000, `*`(W_)), `*`(`^`(m_, 2)))), Tair = `+`(`*`(318.15, `*`(K_))), h = `+`(`/`(`*`(10, `*`(W_)), `*`(`^`(m_, 2), `*`(K_)))), albedo = .3, Tsky = 288.15]

Eqs. const.:

> dat:=op(dat),get_sol_data(su),Const,SI2,SI1:epsilon[arena]=subs(dat,epsilon);

epsilon[arena] = .9

Image

a) Determinar la temperatura de equilibrio de la arena del desierto.

Tomando un sistema interfacial en la superficie de la arena, el balance energético sería:

> eqBE:=dE/dt=Wdot+Qdot;eqBE:=0=Qabs-Qconv-Qrad;eqBE:=0=E*(1-albedo)-h*(T-Tair)-epsilon*sigma*(T^4-Tsky^4);eqBE_:=subs(dat,SI0,%);T2_:=fsolve(%,T=100..1000)*K_;'T2_'=TKC(%);

`/`(`*`(dE), `*`(dt)) = `+`(Wdot, Qdot)
0 = `+`(Qabs, `-`(Qconv), `-`(Qrad))
0 = `+`(`*`(E, `*`(`+`(1, `-`(albedo)))), `-`(`*`(h, `*`(`+`(T, `-`(Tair))))), `-`(`*`(epsilon, `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T, 4)), `-`(`*`(`^`(Tsky, 4)))))))))
0 = `+`(4233.303426, `-`(`*`(10, `*`(T))), `-`(`*`(0.51030e-7, `*`(`^`(T, 4)))))
`+`(`*`(348.2626405, `*`(K_)))
T2_ = `+`(`*`(75.1126405, `*`(C)))

i.e., quemaría al tocarla (75 ºC); no se puede mantener mucho tiempo la piel en contacto con algo a más de 45 ºC. Y los valores del enunciado parecen razonables para un mediodía de verano.

Nótese que, aunque hubiese una T0=15 ºC a tan sólo 0,5 m de profundidad, apenas se notaría:

> eqBE:=0=E*(1-albedo)-h*(T-Tair)-epsilon*sigma*(T^4-Tsky^4)-k*(T-T0)/L0;subs(dat,[Tdepth=T0,L0=0.5*m_]);eqBE_:=subs(L0=0.5*m_,dat,SI0,eqBE);T2_:=fsolve(%,T=100..1000)*K_;'T2_'=TKC(%);

0 = `+`(`*`(E, `*`(`+`(1, `-`(albedo)))), `-`(`*`(h, `*`(`+`(T, `-`(Tair))))), `-`(`*`(epsilon, `*`(sigma, `*`(`+`(`*`(`^`(T, 4)), `-`(`*`(`^`(Tsky, 4)))))))), `-`(`/`(`*`(k, `*`(`+`(T, `-`(T0)))), `*...
[Tdepth = `+`(`*`(288.15, `*`(K_))), L0 = `+`(`*`(.5, `*`(m_)))]
0 = `+`(4579.083426, `-`(`*`(11.20000000, `*`(T))), `-`(`*`(0.51030e-7, `*`(`^`(T, 4)))))
`+`(`*`(344.5985103, `*`(K_)))
T2_ = `+`(`*`(71.4485103, `*`(C)))

Incluso con un valor doble del coeficiente convectivo.

> eqBE_:=subs(h=20,L0=1*m_,dat,SI0,eqBE);T2_:=fsolve(%,T=100..1000)*K_;'T2_'=TKC(%);

0 = `+`(7587.693426, `-`(`*`(20.6, `*`(T))), `-`(`*`(0.51030e-7, `*`(`^`(T, 4)))))
`+`(`*`(336.5532117, `*`(K_)))
T2_ = `+`(`*`(63.4032117, `*`(C)))

Conclusión: no se puede pisar por mucho tiempo la arena seca a pleno sol a mediodía.

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