> restart:#"m11_p24"

Entre dos bloques metálicos a temperatura ambiente (300 K) hay una varilla de latón de 5 mm de diámetro y 50 cm de longitud en cuyo interior se disipan 2 MW/m3, estando en régimen estacionario en presencia de una corriente de aire con la que se supone que existe un coeficiente global de convección de 50 W×m-2×K-1. Se pide:

a)•Potencia total disipada.

b)•Temperatura que alcanzaría la varilla si la transmisión de calor por los extremos fuese despreciable.

c)•Balance energético de un elemento genérico (lineal) de varilla.

d)•Perfil de temperatura a lo largo de la varilla, indicando los valores extremos.

e)•Potencia transmitida al aire.

f)•Estimar la diferencia máxima de temperaturas entre el centro y la periferia de una sección transversal de la varilla.

g) Variación de entropía con el tiempo y generación de entropía para cada sistema

Datos:

> read`../therm_eq.m`:read`../therm_const.m`:read`../therm_proc.m`:with(therm_proc):

> su:="Laton":dat:=[T0=300*K_,R=2.5e-3*m_,L=0.5*m_,phi=2e6*W_/m_^3,h=50*W_/(m_^2*K_)];

[T0 = `+`(`*`(300, `*`(K_))), R = `+`(`*`(0.25e-2, `*`(m_))), L = `+`(`*`(.5, `*`(m_))), phi = `+`(`/`(`*`(0.2e7, `*`(W_)), `*`(`^`(m_, 3)))), h = `+`(`/`(`*`(50, `*`(W_)), `*`(`^`(m_, 2), `*`(K_))))]

Image

> sdat:=get_sol_data(su):dat:=op(dat),sdat,Const,SI2,SI1:

a)•Potencia total disipada.

> Q:=phi*L*Pi*R^2;Q_:=subs(dat,evalf(subs(dat,Q)));

`*`(phi, `*`(L, `*`(Pi, `*`(`^`(R, 2)))))
`+`(`*`(19.63495409, `*`(W_)))

i.e. se disipan 20 W.

b) Temperatura que alcanzaría la varilla si la transmisión de calor por los extremos fuese despreciable.

> eq1:=Q=h*A*(T-T0);Th:=solve(Q=h*2*Pi*R*L*(T-T0),T);Th_:=subs(dat,Th);'Th_'=TKC(%);

`*`(phi, `*`(L, `*`(Pi, `*`(`^`(R, 2))))) = `*`(h, `*`(A, `*`(`+`(T, `-`(T0)))))
`+`(`/`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`+`(`*`(R, `*`(phi)), `*`(2, `*`(T0, `*`(h)))))), `*`(h)))
`+`(`*`(350.0000000, `*`(K_)))
Th_ = `+`(`*`(76.8500000, `*`(C)))

i.e. se alcanzarían 77 ºC (en el centro) con extremos aislados.

c)•Balance energético de un elemento genérico (lineal) de varilla.

> deq1:=0=phi*Pi*R^2+k*Pi*R^2*diff(T(x),x,x)-h*2*Pi*R*(T(x)-T0);

0 = `+`(`*`(phi, `*`(Pi, `*`(`^`(R, 2)))), `*`(k, `*`(Pi, `*`(`^`(R, 2), `*`(diff(diff(T(x), x), x))))), `-`(`*`(2, `*`(h, `*`(Pi, `*`(R, `*`(`+`(T(x), `-`(T0)))))))))

d)•Perfil de temperatura a lo largo de la varilla, indicando los valores extremos.

> dsol1:=dsolve({deq1,T(0)=T0,T(L)=T0},T(x));dsol1_:=evalf(subs(dat,SI0,dsol1));Tmax_:=evalf(subs(x=L/2,dat,SI0,rhs(dsol1)))*K_;'Tmax_'=TKC(%);plot({rhs(dsol1_)},x=0..subs(dat,L/m_),Temp=0..400);

T(x) = `+`(`/`(`*`(`/`(1, 2), `*`(exp(`/`(`*`(`^`(2, `/`(1, 2)), `*`(`^`(h, `/`(1, 2)), `*`(x))), `*`(`^`(R, `/`(1, 2)), `*`(`^`(k, `/`(1, 2)))))), `*`(phi, `*`(R, `*`(`+`(exp(`+`(`-`(`/`(`*`(`^`(2, `...
T(x) = `+`(`-`(`*`(0.1421827442e-1, `*`(exp(`+`(`*`(16.32993162, `*`(x))))))), `-`(`*`(49.98578172, `*`(exp(`+`(`-`(`*`(16.32993162, `*`(x)))))))), 350.0000000)
`+`(`*`(348.3139258, `*`(K_)))
Tmax_ = `+`(`*`(75.1639258, `*`(C)))
Plot_2d

i.e. solo sellegaría a 75 ºC en el centro con T0=TL=Tinf (en vez de lsos 77 ºC con extremos adiabáticos).

Puede ponerse en forma más compacta así:

> Tcompact:=T0+(phi/(k*m^2))*(1-(sinh(m*x)+sinh(m*(L-x)))/sinh(m*L));Tcompact_:=evalf(subs(m=sqrt(2*h/(k*R)),dat,SI0,%));plot([Tcompact_-273,rhs(dsol1_)-273],x=0..0.5,T_C=0..100);

`+`(T0, `/`(`*`(phi, `*`(`+`(1, `-`(`/`(`*`(`+`(sinh(`*`(m, `*`(x))), sinh(`*`(m, `*`(`+`(L, `-`(x))))))), `*`(sinh(`*`(m, `*`(L))))))))), `*`(k, `*`(`^`(m, 2)))))
`+`(350.0000000, `-`(`*`(0.2844463990e-1, `*`(sinh(`+`(`*`(16.32993162, `*`(x))))))), `-`(`*`(0.2844463990e-1, `*`(sinh(`+`(8.164965808, `-`(`*`(16.32993162, `*`(x)))))))))
Plot_2d

e)•Potencia transmitida al aire.

> Q1:=k*Pi*R^2*diff(T(x),x);Q1_:=simplify(subs(x=0,dat,SI0,eval(subs(dsol1,Q1))))*W_;Qaire:='Q-2*Q1';Qaire_:=Q_-2*Q1_;

`*`(k, `*`(Pi, `*`(`^`(R, 2), `*`(diff(T(x), x)))))
`+`(`*`(2.403413260, `*`(W_)))
`+`(Q, `-`(`*`(2, `*`(Q1))))
`+`(`*`(14.82812757, `*`(W_)))

i.e. se transmiten 15 W al aire y 2,4 W a cada bloque.

f)•Estimar la diferencia máxima de temperaturas entre el centro y la periferia de una sección transversal de la varilla.

> eq11_6_20;dsol2:=dsolve({eq11_6_20,D(T)(0)=0,T(R)=TR},T(r));DT:=expand(subs(r=0,rhs(%))-TR);DT_:=subs(dat,%);

0 = `+`(`/`(`*`(diff(T(r), r)), `*`(r)), diff(diff(T(r), r), r), `/`(`*`(phi), `*`(k)))
T(r) = `+`(`-`(`/`(`*`(`/`(1, 4), `*`(phi, `*`(`^`(r, 2)))), `*`(k))), `/`(`*`(`/`(1, 4), `*`(`+`(`*`(`^`(R, 2), `*`(phi)), `*`(4, `*`(TR, `*`(k)))))), `*`(k)))
`+`(`/`(`*`(`/`(1, 4), `*`(phi, `*`(`^`(R, 2)))), `*`(k)))
`+`(`*`(0.2083333333e-1, `*`(K_)))

i.e. despreciable, como era de prever.

g) Variación de entropía con el tiempo y generación de entropía para cada sistema

> DS1:='Q1/T0';DS2:='Q1/T0';DSvar:=0;DSair:='Qair/T0';Sgen1:=0;Sgen2:=0;Sgenair:=0;Sgenvar:=Qtotal/T0;Sgenvar_:=evalf(subs(dat,Q_/T0),2);

`/`(`*`(Q1), `*`(T0))
`/`(`*`(Q1), `*`(T0))
0
`/`(`*`(Qair), `*`(T0))
0
0
0
`/`(`*`(Qtotal), `*`(T0))
`+`(`/`(`*`(0.67e-1, `*`(W_)), `*`(K_)))

se generan 0,07 W/K.

>