> restart:#"m08_p68"

Considérese el siguiente sistema de secado. Del recinto donde está el producto a secar en un tambor giratorio, se extraen 10 L/s de aire a 100 kPa, 20 ºC y 90% de humedad relativa. El aire es aspirado por un compresor de rendimiento isentrópico 0,75, que lo comprime hasta 160 kPa, enfriándose luego en un cambiador de calor hasta 35 ºC, tras de lo cual se expande en una turbina de rendimiento 0,85 hasta la presión ambiente, condensando parte de la humedad, y retornando el flujo de aire a la cámara a contracorriente en el cambiador antedicho. Se pide:

a) Gasto másico de vapor extraído con el aire, y consumo energético del compresor.

b) Humedades relativas a la salida del compresor y a la salida del cambiador.

c) Estado termodinámico del aire a la salida de la turbina y cantidad de agua condensada.

d) Estado termo-higrométrico de retorno a la cámara de secado.

Datos:

> read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):with(plots):

> su1:="Aire":su2:="H2O":dat:=[Vdot=10e-3*m_^3/s_,p1=100e3*Pa_,T1=(20+273.15)*K_,phi1=0.9,etaC=0.75,p2=160e3*Pa_,T3=(35+273.15)*K_,etaT=0.85];

[Vdot = `+`(`/`(`*`(0.10e-1, `*`(`^`(m_, 3))), `*`(s_))), p1 = `+`(`*`(0.100e6, `*`(Pa_))), T1 = `+`(`*`(293.15, `*`(K_))), phi1 = .9, etaC = .75, p2 = `+`(`*`(0.160e6, `*`(Pa_))), T3 = `+`(`*`(308.15...
[Vdot = `+`(`/`(`*`(0.10e-1, `*`(`^`(m_, 3))), `*`(s_))), p1 = `+`(`*`(0.100e6, `*`(Pa_))), T1 = `+`(`*`(293.15, `*`(K_))), phi1 = .9, etaC = .75, p2 = `+`(`*`(0.160e6, `*`(Pa_))), T3 = `+`(`*`(308.15...

Eqs. const.:

> Adat:=get_gas_data(su1):Adat:=subs(c[p]=c[pa],R=R[a],M=M[a],T[b]=nada,[Adat]):Wgdat:=get_gas_data(su2):Wgdat:=subs(c[p]=c[pv],R=R[v],M=M[v],[Wgdat]):Wldat:=get_liq_data(su2):Wdat:=op(Wgdat),Wldat:get_pv_data(su2):dat:=op(dat),Const,SI2,SI1:

Image

a) Gasto másico de vapor extraído con el aire, y consumo energético del compresor.

Aproximaremos las propiedades de la mezcla por las del aire seco, y despreciaremos las pérdidas de presión en el cambiador.

> eqET:=mdot=p1*Vdot/(R*T1);eqET_:=subs(R=R[a],Adat,dat,eqET);eq8_8;p[v](T)=subs(dat,evalf(subs(dat,pv(T1))));w1_:=evalf(subs(dat,w(phi1,T1,p1)));eqmw:=mwdot=w*mdot;eqmw_:=subs(w=w1_,eqET_,%);'mwdot'=rhs(%)*3600*s_/h_;eqC:=etaC=((p2/p1)^((gamma-1)/gamma)-1)/(T2/T1-1);T2_:=subs(Adat,dat,solve(%,T2));'T2_'=TKC(%);WdotC:=-mdot*c[pa]*(T2-T1);WdotC_:=subs(Adat,eqET_,T2=T2_,dat,%);

mdot = `/`(`*`(p1, `*`(Vdot)), `*`(R, `*`(T1)))
mdot = `+`(`/`(`*`(0.11898660666240475789e-1, `*`(kg_)), `*`(s_)))
w = `/`(`*`(Mva), `*`(`+`(`/`(`*`(p), `*`(phi, `*`(p[v](T)))), `-`(1))))
p[v](T) = `+`(`*`(2363.8302655074614838, `*`(Pa_)))
0.13538562203299038553e-1
mwdot = `*`(w, `*`(mdot))
mwdot = `+`(`/`(`*`(0.16109075756584426189e-3, `*`(kg_)), `*`(s_)))
mwdot = `+`(`/`(`*`(.57992672723703934280, `*`(kg_)), `*`(h_)))
etaC = `/`(`*`(`+`(`^`(`/`(`*`(p2), `*`(p1)), `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))), `-`(1))), `*`(`+`(`/`(`*`(T2), `*`(T1)), `-`(1))))
`+`(`*`(349.29059547349758899, `*`(K_)))
T2_ = `+`(`*`(76.14059547349758899, `*`(C)))
`+`(`-`(`*`(mdot, `*`(c[pa], `*`(`+`(T2, `-`(T1)))))))
`+`(`-`(`*`(670.66988672038315699, `*`(W_))))

i.e. seextraen 0,16 g/s de agua (0,58 kg/h), y el compresor consume 670 W.

b) Humedades relativas a la salida del compresor y a la salida del cambiador.

> w2:=w1;phi2_:=subs(dat,phi(w1_,T2_,p2));w3:=w2;phi3_:=evalf(subs(dat,phi(w1_,T3,p2)));Qdot23:=mdot*c[pa]*(T3-T2);Qdot23_:=subs(T2=T2_,Adat,eqET_,dat,Qdot23);

w1
0.84392750041336046983e-1
w1
.60097421033831557494
`*`(mdot, `*`(c[pa], `*`(`+`(T3, `-`(T2)))))
`+`(`-`(`*`(491.47605708680159161, `*`(W_))))

i.e. la compresión baja la humedad relativa desde el 90% hasta uun 8,5% (la humedad absoluta no cambia porque no hay aporte ni extracción de agua). Con el enfriamiento en el cambiador, la humedad sube del 8,5% al 60%.

c) Estado termodinámico del aire a la salida de la turbina y cantidad de agua condensada.

Si condensa algo ya no será aplicable el modelo de gas perfecto, pero empezaremos con este modelo (que dará temperaturas más bajas y por tanto más condensación).

> eqT:=etaT=(1-T4/T3)/(1-(p4/p3)^((gamma-1)/gamma));T4_:=subs(p4=p1,p3=p2,Adat,dat,solve(%,T4));'T4_'=TKC(%);phi4:=1;eq8_8;w4_:=evalf(subs(dat,w(phi4,T4_,p1)));mwdot:=mdot*(w3-w4);mwdot_:=subs(eqET_,w1=w1_,w4=w4_,%);%*3600*s_/h_;WdotT:=mdot*c[pa]*(T3-T4);WdotT_:=subs(Adat,eqET_,T4=T4_,dat,%);

etaT = `/`(`*`(`+`(1, `-`(`/`(`*`(T4), `*`(T3))))), `*`(`+`(1, `-`(`^`(`/`(`*`(p4), `*`(p3)), `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma)))))))
`+`(`*`(275.25396661011361443, `*`(K_)))
T4_ = `+`(`*`(2.10396661011361443, `*`(C)))
1
w = `/`(`*`(Mva), `*`(`+`(`/`(`*`(p), `*`(phi, `*`(p[v](T)))), `-`(1))))
0.45217873375811834912e-2
`*`(mdot, `*`(`+`(w1, `-`(w4))))
`+`(`/`(`*`(0.10728754443106278993e-3, `*`(kg_)), `*`(s_)))
`+`(`/`(`*`(.38623515995182604375, `*`(kg_)), `*`(h_)))
`*`(mdot, `*`(c[pa], `*`(`+`(T3, `-`(T4)))))
`+`(`*`(392.98441352586077568, `*`(W_)))

i.e. el aire saturado saldría de la turbina a 2,1 ºC con w=4,5 g/kg de agua, habiendo condensado 0,11 g/s de agua (0,39 kg/h)., y la turbina suministraría 390 W, que se usarían para ayudar a mover el compresor, que consume más porque comprime aire más caliente, y por ser menor su rendimiento).

Antes de rehacer este apartado con un modelo de expansión con condensación parcial, completaremos el análisis con el modelo de gas perfecto.

d) Estado termo-higrométrico de retorno a la cámara de secado.

> eqHX:=m*c[p]*(T5-T4)=m*c[p]*(T2-T3);T5_:=subs(dat,T4_+(T2_-T3));'T5_'=TKC(%);w5:=w4;w5_:=w4_;;phi5_:=evalf(subs(dat,phi(w4_,T5_,p1)));eqBMwdrum:=mwdot=mdot*(w1-w5);eqBMwdrum_:=subs(eqET_,w1=w1_,w5=w5_,dat,%);%*3600*s_/h_;eqBEdrum:=Qdot+Wdot+mdot*h5-mdot*h1;h5_:=subs(Adat,Wdat,T=T5_,h(T,w4_));h1_:=subs(Adat,Wdat,T=T1,dat,h(T,w1_));eqBEdrum_:=subs(dat,subs(eqET_,dat,h5=h5_,h1=h1_,eqBEdrum));

`*`(m, `*`(c[p], `*`(`+`(T5, `-`(T4))))) = `*`(m, `*`(c[p], `*`(`+`(T2, `-`(T3)))))
`+`(`*`(316.39456208361120342, `*`(K_)))
T5_ = `+`(`*`(43.24456208361120342, `*`(C)))
w4
0.45217873375811834912e-2
0.81951889328913886968e-1
`*`(mdot, `*`(`+`(w1, `-`(w4)))) = `*`(mdot, `*`(`+`(w1, `-`(w4))))
`+`(`/`(`*`(0.10728754443106278993e-3, `*`(kg_)), `*`(s_))) = `+`(`/`(`*`(0.10728754443106278993e-3, `*`(kg_)), `*`(s_)))
`+`(`/`(`*`(.38623515995182604375, `*`(kg_)), `*`(h_))) = `+`(`/`(`*`(.38623515995182604375, `*`(kg_)), `*`(h_)))
`+`(Qdot, Wdot, `*`(mdot, `*`(h5)), `-`(`*`(mdot, `*`(h1))))
`+`(`/`(`*`(55179.663665424978216, `*`(J_)), `*`(kg_)))
`+`(`/`(`*`(54398.424513516118858, `*`(J_)), `*`(kg_)))
`+`(Qdot, Wdot, `*`(9.29569956774501276, `*`(W_)))

i.e. el aire retornaría al tambor de secado a 43 ºC y 8,2% de HR (caliente y seco para poder absorber más agua).

Con el balance másico de agua en el tambor comprobamos la consistencia global de los datos; el proceso se resume en tomar 0,4 kg/h de agua del tambor y condensarla y eliminarla en la expansión, con un coste neto de WdotC-WdotT=670-390=280 W.

El balance energético del tambor nos enseña que, en régimen estacionario, la suma de entrada de calor (por las paredes) y trabajo (e.g. de giro) ha de ser negativa y de unos 9 W. Este valor es tan pequeño frente a WdotC, Q23, y WdotT, que puede despreciarse y considerar el tambor isentálpico.

Ahora volvamos a la turbina con condensación.

Antes, dadas las condiciones de entrada (aire a 160 kPa, 35 ºC, y 60% HR, con w3=13,5 g/kg), y las del proceso(expansión adiabática hasta 100 kPa, con rendimiento del 85%), el estudio se había hecho como si no condensara dentro de la turbina sino fuera y de golpe (podría ocurrir en equilibrio metastable), i.e. se calculaba siguiendo este modelo:

1º se determinaba la temperatura de salida isentrópica, T4s, con la relación de isentropía, s3=s4, i.e. cp*ln(T4s/T3)-R*ln(p4/p3)=0,

2º se calculaba la entalpía h4s=cp*(T4s-TR),

3º se calculaba la entalpía real h4=h3-eta*(h3-h4s),

4º se calculaba T4(h4), y finalmente la humedad absoluta del aire saturado a p4 y T4. Varios de los pasos intermedios quedaban ocultos en la ecuación usada para el rendimiento de la turbina.

Ahora tenemos que repetir los mismos pasos, pero con otra forma de la ecuación de isentropía, s3=s4, que ahora pasa a ser Ds=cp*ln(T4s/T3)-R*ln(p4/p3)-(w3-w4s)*hlv/T4s+w3*c*ln(T4s/T3)=0, que como se ve depende de w4 que a su vez es función de T4s

> eqS:='c[pa]*ln(T4s/T3)-R[a]*ln(p4/p3)-(w3-w4s)*h[lv0]/T4s=0';T4s_:=fsolve(subs(Adat,Wdat,p4=p0,p3=p2,w4s=w(1,T4s,p0),w1=w1_,dat,SI0,eqS),T4s=200..400)*K_;'T4s_'=TKC(%);w4s_:=subs(dat,w(1,T4s_,p0));h4s_:=subs(Adat,Wdat,T=T4s_,dat,h(T,w(1,T4s_,p0)));h4=h3-eta*(h3-h4s);h3_:=subs(Adat,Wdat,T=T3,w1=w1_,dat,h(T,w3));h4_:=subs(dat,h3_-etaT*(h3_-h4s_));eq8_11;T4_:=fsolve(subs(Adat,Wdat,dat,SI0,h4_=h(T,w(1,T,p0))),T=200..400)*K_;'T4_'=TKC(%);w4_:=subs(dat,w(1,T4_,p0));WdotT:=mdot*(h3-h4);WdotT_:=subs(eqET_,h3=h3_,h4=h4_,dat,%);mwdot:=mdot*(w3-w4);mwdot_:=subs(eqET_,w1=w1_,w4=w4_,%);'mwdot_'=%*3600*s_/h_;

`+`(`*`(c[pa], `*`(ln(`/`(`*`(T4s), `*`(T3))))), `-`(`*`(R[a], `*`(ln(`/`(`*`(p4), `*`(p3)))))), `-`(`/`(`*`(`+`(w3, `-`(w4s)), `*`(h[lv0])), `*`(T4s)))) = 0
`+`(`*`(282.59136214605939889, `*`(K_)))
T4s_ = `+`(`*`(9.44136214605939889, `*`(C)))
0.75519241669878697946e-2
`+`(`/`(`*`(28537.325982240440759, `*`(J_)), `*`(kg_)))
h4 = `+`(h3, `-`(`*`(eta, `*`(`+`(h3, `-`(h4s))))))
`+`(`/`(`*`(69844.273536310141457, `*`(J_)), `*`(kg_)))
`+`(`/`(`*`(34733.368115350895864, `*`(J_)), `*`(kg_)))
h = `+`(`*`(c[pa], `*`(`+`(T, `-`(T[f])))), `*`(w, `*`(`+`(h[lv0], `-`(`*`(`+`(c[pv], `-`(c)), `*`(`+`(T[b], `-`(T[f]))))), `*`(c[pv], `*`(`+`(T, `-`(T[f]))))))))
`+`(`*`(285.16121128305693843, `*`(K_)))
T4_ = `+`(`*`(12.01121128305693843, `*`(C)))
0.89786536193468856739e-2
`*`(mdot, `*`(`+`(h3, `-`(h4))))
`+`(`*`(417.77274928845727021, `*`(W_)))
`*`(mdot, `*`(`+`(w1, `-`(w4))))
`+`(`/`(`*`(0.54256804909523787903e-4, `*`(kg_)), `*`(s_)))
mwdot_ = `+`(`/`(`*`(.19532449767428563645, `*`(kg_)), `*`(h_)))

i.e., considerando la condensación como estados de equilibrio dentro de la turbina, el aire saldría saturado a 12 ºC con 9 g/kg de vapor disuelto (en lugar de supersaturado a 2 ºC y con 4,5 g/kg.

La turbina generaría ahora 418 W en vez de los 393 W de antes, pero ahora, al salir más caliente el aire, ha condensado menos que antes (0,2 kg/h en vez de 0,4 kg/h).

> eqHX:=m*c[p]*(T5-T4)=m*c[p]*(T2-T3);T5_:=subs(dat,T4_+(T2_-T3));'T5_'=TKC(%);w5:=w4;w5_:=w4_;;phi5_:=evalf(subs(dat,phi(w4_,T5_,p1)));eqBMwdrum:=mwdot=mdot*(w1-w5);eqBMwdrum_:=subs(eqET_,w1=w1_,w5=w5_,dat,%);%*3600*s_/h_;eqBEdrum:=Qdot+Wdot+mdot*h5-mdot*h1;h5_:=subs(Adat,Wdat,T=T5_,h(T,w4_));h1_:=subs(Adat,Wdat,T=T1,dat,h(T,w1_));eqBEdrum_:=subs(dat,subs(eqET_,dat,h5=h5_,h1=h1_,eqBEdrum));

`*`(m, `*`(c[p], `*`(`+`(T5, `-`(T4))))) = `*`(m, `*`(c[p], `*`(`+`(T2, `-`(T3)))))
`+`(`*`(326.30180675655452742, `*`(K_)))
T5_ = `+`(`*`(53.15180675655452742, `*`(C)))
w4
0.89786536193468856739e-2
0.98455881947817965796e-1
`*`(mdot, `*`(`+`(w1, `-`(w4)))) = `*`(mdot, `*`(`+`(w1, `-`(w4))))
`+`(`/`(`*`(0.54256804909523787903e-4, `*`(kg_)), `*`(s_))) = `+`(`/`(`*`(0.54256804909523787903e-4, `*`(kg_)), `*`(s_)))
`+`(`/`(`*`(.19532449767428563645, `*`(kg_)), `*`(h_))) = `+`(`/`(`*`(.19532449767428563645, `*`(kg_)), `*`(h_)))
`+`(Qdot, Wdot, `*`(mdot, `*`(h5)), `-`(`*`(mdot, `*`(h1))))
`+`(`/`(`*`(76740.361567997865137, `*`(J_)), `*`(kg_)))
`+`(`/`(`*`(54398.424513516118858, `*`(J_)), `*`(kg_)))
`+`(Qdot, Wdot, `*`(265.83912763778254840, `*`(W_)))

El estado termohigrométrico de entrada al tambor pasa a ser 53 ºC y 9,9% de HR (en vez de 43 ºC y 8,2% de HR), y ahora el balance energético del tambor parece indicar que hay unas pérdidas de calor al ambiente de 266 W (despreciando las posibles ganancias por disipación mecánica), debido a que la ropa estaría a 53 ºC y el ambiente a mucho menos (es de esperar).

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