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Se piensa usar una mezcla de argón y xenón, con el 25 % molar de argón, como fluido de trabajo en un ciclo Brayton cerrado para una planta de potencia espacial, donde un compresor toma 10 kg/s de mezcla a 50 ºC y 1 MPa y la comprime a 2 MPa con un rendimiento adiabático del 80 %. Suponiendo válido el modelo mezcla ideal de gases ideales, se pide:
a) Capacidad térmica a presión constante, relación de capacidades térmicas, y velocidad del sonido de la mezcla.
b) Temperatura de salida del compresor, y su consumo energético.
c) Esquema del diagrama T-x de las mezclas Ar/Xe a 1 MPa, indicando los valores extremos.
d) Temperatura a la que empezaría a condensar la mezcla a esa presión.
e)        Presión a la que empezaría a condensar a 50 ºC.

Datos:

> read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):interface(displayprecision=2):

> su1:="Ar":su2:="Xe":dat:=[mdot=10*kg_/s_,xA=0.25,T1=(-50+273.15)*K_,p1=1e6*Pa_,eta=0.8,p2=2e6*Pa_];dat:=op(dat),Const,SI2,SI1:

[mdot = `+`(`/`(`*`(10, `*`(kg_)), `*`(s_))), xA = .25, T1 = `+`(`*`(223.15, `*`(K_))), p1 = `+`(`*`(0.1e7, `*`(Pa_))), eta = .8, p2 = `+`(`*`(0.2e7, `*`(Pa_)))]

> g1dat:=get_gas_data(su1):l1dat:=get_liq_data(su1):g2dat:=get_gas_data(su2):l2dat:=get_liq_data(su2):dat1:=dat,g1dat,l1dat,Const,SI2,SI1:dat2:=dat,g2dat,l2dat,Const,SI2,SI1:pv1:=proc(T) global su1;get_pv_data(su1);RETURN(pv(T)):end:pv2:=proc(T) global su1;get_pv_data(su2);RETURN(pv(T)):end:Argon:=op(subs(dat1,[`M=`,M,`c[p]=`,c[p],`gamma=`,gamma,`T[b]=`,T[b]])),p[v,Ar]=pv1(T);Xenon:=op(subs(dat2,[`M=`,M,`c[p]=`,c[p],`gamma=`,gamma,`T[b]=`,T[b]])),p[v,Xe]=pv2(T);

`M=`, `+`(`/`(`*`(0.40e-1, `*`(kg_)), `*`(mol_))), `c[p]=`, `+`(`/`(`*`(523., `*`(J_)), `*`(kg_, `*`(K_)))), `gamma=`, 1.659527209, `T[b]=`, `+`(`*`(87.4, `*`(K_))), p[v, Ar] = `+`(`*`(0.1e4, `*`(exp(...
`M=`, `+`(`/`(`*`(.131, `*`(kg_)), `*`(mol_))), `c[p]=`, `+`(`/`(`*`(158., `*`(J_)), `*`(kg_, `*`(K_)))), `gamma=`, 1.671350129, `T[b]=`, `+`(`*`(165.0, `*`(K_))), p[v, Xe] = `+`(`*`(0.1e4, `*`(exp(`+...

> eqNV:=xv1+xv2=1;eqNL:=xl1+xl2=1;eqC1:=xv1*xv0+xl1*xl0=x01;eqC2:=xv2*xv0+xl2*xl0=x02;eqE1:=xv1/xl1=pv1/p;eqE2:=xv2/xl2=pv2/p;sol1:=solve({eqNV,eqNL,eqE1,eqE2},{xv1,xv2,xl1,xl2});sol2:=solve({eqC1,eqC2},{xv0,xl0});

`+`(xv1, xv2) = 1
`+`(xl1, xl2) = 1
`+`(`*`(xl0, `*`(xl1)), `*`(xv0, `*`(xv1))) = x01
`+`(`*`(xl0, `*`(xl2)), `*`(xv0, `*`(xv2))) = x02
`/`(`*`(xv1), `*`(xl1)) = `/`(`*`(pv1), `*`(p))
`/`(`*`(xv2), `*`(xl2)) = `/`(`*`(pv2), `*`(p))
{xl1 = `/`(`*`(`+`(p, `-`(pv2))), `*`(`+`(pv1, `-`(pv2)))), xl2 = `+`(`-`(`/`(`*`(`+`(p, `-`(pv1))), `*`(`+`(pv1, `-`(pv2)))))), xv1 = `/`(`*`(pv1, `*`(`+`(p, `-`(pv2)))), `*`(`+`(pv1, `-`(pv2)), `*`(...
{xl0 = `/`(`*`(`+`(`*`(x01, `*`(xv2)), `-`(`*`(x02, `*`(xv1))))), `*`(`+`(`*`(xl1, `*`(xv2)), `-`(`*`(xl2, `*`(xv1)))))), xv0 = `+`(`-`(`/`(`*`(`+`(`*`(x01, `*`(xl2)), `-`(`*`(x02, `*`(xl1))))), `*`(`...

a) Capacidad térmica a presión constante, relación de capacidades térmicas, y velocidad del sonido de la mezcla.

Aunque por ser un ciclo Brayton se supone que la mezcla es gaseosa a -50 ºC y 1 MPa, conviene comprobarlo, como se hará luego. De momento usaremos el modelo de gas perfecto (MGP), aunque también conviene comprobar su bondad con modelos más precisos.

> cpmixmol:=c[p,mix]=Sum(x[i]*c[p,i],i=1..C);cpA_:=subs(dat1,c[p]*M);cpX_:=subs(dat2,c[p]*M);xA_:=subs(dat,xA);xX_:=1-xA_;cpmixmol_:=c[p,mix]=xA_*cpA_+xX_*cpX_;gammamix:=gamma[mix]=c[p,mix]/(c[p,mix]-R[u]);gammamix_:=subs(cpmixmol_,dat,%);eqc:=c=sqrt(gamma*R*T);eqc:=c=sqrt(gamma*R[u]*T1/M);eqMmix:=M[mix]=xA*MA+xE*MX;eqMmix_:=M[mix]=subs(dat1,MX=M,dat2,dat,xA*M+(1-xA)*MX);eqc_:=subs(gamma=rhs(gammamix_),M=rhs(eqMmix_),dat,eqc);

c[p, mix] = Sum(`*`(x[i], `*`(c[p, i])), i = 1 .. C)
`+`(`/`(`*`(20.920, `*`(J_)), `*`(mol_, `*`(K_))))
`+`(`/`(`*`(20.698, `*`(J_)), `*`(mol_, `*`(K_))))
.25
.75
c[p, mix] = `+`(`/`(`*`(20.75350, `*`(J_)), `*`(mol_, `*`(K_))))
gamma[mix] = `/`(`*`(c[p, mix]), `*`(`+`(c[p, mix], `-`(R[u]))))
gamma[mix] = 1.668354837
c = `*`(`^`(`*`(gamma, `*`(R, `*`(T))), `/`(1, 2)))
c = `*`(`^`(`/`(`*`(gamma, `*`(R[u], `*`(T1))), `*`(M)), `/`(1, 2)))
M[mix] = `+`(`*`(MA, `*`(xA)), `*`(MX, `*`(xE)))
M[mix] = `+`(`/`(`*`(.10825, `*`(kg_)), `*`(mol_)))
c = `+`(`/`(`*`(169.0961484, `*`(m_)), `*`(s_)))

i.e., como podíamos haber previsto al ser ambos gases monoatómicos, cp=(5/2)R=2.5·8.3=20,75 J/(mol·K), y gamma=5/3=1,67. La velocidad del sonido en la mezcla a -50 ºC es 169 m/s (192 m/s a 15 ºC).

b) Temperatura de salida del compresor, y su consumo energético

> eq5_59;pi[12]=p2/p1;pi[12]=subs(dat,p2/p1);T1=subs(dat,T1);T2_:=subs(pi[12]=p2/p1,gamma=rhs(gammamix_),dat,solve(eq5_59,T2));'T2_'=TKC(%);Wdot:=ndot*c[p]*(T2-T1);ndot=mdot/M[mix];ndot:=subs(dat,mdot/rhs(eqMmix_));Wdot_:=subs(dat,ndot*rhs(cpmixmol_)*(T2_-T1));

eta = `/`(`*`(`+`(`^`(pi[12], `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))), `-`(1))), `*`(`+`(`/`(`*`(T2), `*`(T1)), `-`(1))))
pi[12] = `/`(`*`(p2), `*`(p1))
pi[12] = 2.
T1 = `+`(`*`(223.15, `*`(K_)))
`+`(`*`(312.4276604, `*`(K_)))
T2_ = `+`(`*`(39.2776604, `*`(C)))
`*`(ndot, `*`(c[p], `*`(`+`(T2, `-`(T1)))))
ndot = `/`(`*`(mdot), `*`(M[mix]))
`+`(`/`(`*`(92.37875289, `*`(mol_)), `*`(s_)))
`+`(`*`(171161.5635, `*`(W_)))

i.e. del compresor sale la mezcla a 39 ºC, consumiendo 171 kW en la compresión.

c) Esquema del diagrama T-x de las mezclas Ar/Xe a 1 MPa, indicando los valores extremos.

> p1=subs(dat,p1);TApuro1:=TA[v](p1);TApuro1_:=evalf(subs(dat,solve(pv1(T)=p1,T)));'TApuro1_'=TKC(%);TXpuro1_:=evalf(subs(dat,solve(pv2(T)=p1,T)));'TXpuro1_'=TKC(%);

p1 = `+`(`*`(0.1e7, `*`(Pa_)))
TA[v](p1)
`+`(`*`(116.6018520, `*`(K_)))
TApuro1_ = `+`(`-`(`*`(156.5481480, `*`(C))))
`+`(`*`(218.6351527, `*`(K_)))
TXpuro1_ = `+`(`-`(`*`(54.5148473, `*`(C))))

Image

d) Temperatura a la que empezaría a condensar la mezcla a esa presión.

Será la de rocío, i.e. cuando haya ELV con xvA=xA.

> eqE1;eqE1_:=subs(xv1=xA,p=p1,pv1='pv1(T)',dat,SI0,eqE1);eqE2;eqE2_:=subs(xv2=1-xA,xl2=1-xl1,p=p1,pv2='pv2(T)',dat,SI0,eqE2);sol_:=fsolve(subs(SI0,{eqE1_,eqE2_}),{xl1,T},{xl1=0..1,T=0..500});Tdew_:=subs(sol_,T)*K_;'Tdew_'=TKC(%);

`/`(`*`(xv1), `*`(xl1)) = `/`(`*`(pv1), `*`(p))
`+`(`/`(`*`(.25), `*`(xl1))) = `+`(`*`(0.1e-5, `*`(pv1(T))))
`/`(`*`(xv2), `*`(xl2)) = `/`(`*`(pv2), `*`(p))
`+`(`/`(`*`(.75), `*`(`+`(1, `-`(xl1))))) = `+`(`*`(0.1e-5, `*`(pv2(T))))
{T = 210.7429087, xl1 = 0.1133761286e-1}
`+`(`*`(210.7429087, `*`(K_)))
Tdew_ = `+`(`-`(`*`(62.4070913, `*`(C))))

i.e. ai esta mezcla Ar/Xe llegara a enfriarse a -62 ºC (en lugar de los -50 ºC que indica el enunciado) aparecerían gotitas (de argón casi puro), lo que podría dañar el compresor.

Podríamos calcular el diagrama de fases a esa presión para cualquier composición:

> n:=9:for i from 0 to n do T||i:=TApuro1_+(TXpuro1_-TApuro1_)*(i/n);xv1||i:=subs(sol1,p=p1,pv1=pv1(T||i),pv2=pv2(T||i),dat1,SI0,xv1);xl1||i:=subs(sol1,p=p1,pv1=pv1(T||i),pv2=pv2(T||i),dat1,SI0,xl1);od:plot({[seq([xv1||i,T||i/K_],i=0..n)],[seq([xl1||i,T||i/K_],i=0..n)],[[xA_,0],[xA_,500]]},xA=0..1,T_K=100..250,color=black);

Plot_2d

Los cálculos del ELV los hemos hecho con el modelo de mezcla ideal (Ec. de Raoult), que en este tipo de mezclas es muy parecido al comportamiento real, como se aprecia en el diagrama con datos del NIST:

Image

e) Presión a la que empezaría a condensar a 50 ºC.

Sería la del ELV con xVA=xA=0,25.

> T1:='T1':eqE1_:=evalf(subs(xv1=xA,pv1=pv1(T1),dat,eqE1));eqE2_:=evalf(subs(xv2=1-xA,xl2=1-xl1,pv2=pv2(T1),dat,eqE2));sol_:=subs(dat,solve({eqE1_,eqE2_},{p,xl1}));

`+`(`/`(`*`(.25), `*`(xl1))) = `+`(`/`(`*`(27341213.64, `*`(kg_)), `*`(m_, `*`(`^`(s_, 2), `*`(p)))))
`+`(`/`(`*`(.75), `*`(`+`(1., `-`(`*`(1., `*`(xl1))))))) = `+`(`/`(`*`(1160027.363, `*`(kg_)), `*`(m_, `*`(`^`(s_, 2), `*`(p)))))
{p = `+`(`*`(1525133.797, `*`(Pa_))), xl1 = 0.1394537398e-1}

i.e. a -50 ºC empezaría a condensar a 1,53 MPa.

Podríamos estar tentados a hacer un esquema del diagrama p-x como el que se calcula aquí abajo, pero al ir a calcular las presiones extremas, la del ELV del argón puro y la del ELV del xenón puro, deberíamos darnos cuenta de un problema: a -50 ºC el argón puro no puede estar en ELV porque Tcr<-50 ºC. La extrapolación de la línea de ELV del argón daría:

> T1:='T1':TcrA:=subs(dat1,T[cr]);'TcrA'=TKC(%);TcrX:=subs(dat2,T[cr]);'TcrX'=TKC(%);pApuro_50:=subs(dat,evalf(subs(dat,pv1(T1))));pXpuro_50:=subs(dat,evalf(subs(dat,pv2(T1))));n=9:for i from 0 to n do p_[i]:=pXpuro_50+1+(pApuro_50-pXpuro_50+1)*(i/n);eqE1_:=evalf(subs(p=p_[i],pv1=pv1(T1),dat,SI0,eqE1));eqE2_:=evalf(subs(xv2=1-xv1,xl2=1-xl1,p=p_[i],pv2=pv2(T1),dat,SI0,eqE2));sol_:=solve({eqE1_,eqE2_},{xv1,xl1});xv[i]:=subs(sol_,xv1);xl[i]:=subs(sol_,xl1);od:plot([[seq([xv[i],subs(SI0,p_[i])/1e6],i=0..n)],[seq([xl[i],subs(SI0,p_[i])/1e6],i=0..n)]],xA=0..1,p_MPa=0..30);

`+`(`*`(151.2, `*`(K_)))
TcrA = `+`(`-`(`*`(121.95, `*`(C))))
`+`(`*`(289.8, `*`(K_)))
TcrX = `+`(`*`(16.65, `*`(C)))
`+`(`*`(27341213.64, `*`(Pa_)))
`+`(`*`(1160027.363, `*`(Pa_)))
Plot_2d

pero la realidad es que, con más de 75 % de argón, las mzclas serían supercríticas y no condensarían a ninguna presión, como enseña el diagrama obtenido con los datos del NIST:

Image

Nota. Ribeiro et al. (2015) hacen un estudio de una planta de potencia nuclear de ciclo Brayton para propulsión eléctrica espacial utilizando una mezcla de He/Xe en vez de Ar/Xe.

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