>	restart:#"m05_p53.mw"

Se tienen dos depósitos térmicamente aislados, uno de 2 m3 y el otro de 1 m3, conteniendo aire inicialmente a 15 ºC y 100 kPa, comunicados entre sí a través de una válvula que permanece cerrada si la diferencia de presión desde el depósito mayor al menor es menor que 10 kPa, y mantiene esta diferencia si no es así. En un cierto instante se conecta una resistencia eléctrica en el interior del depósito mayor, que disipa constantemente 500 W. Se va a considerar una única temperatura media representativa en cada depósito. Se pide:

a) Hacer un diagrama esquemático de la evolución temporal esperada de la presión, temperatura y densidad en cada depósito.

b) Calcular el tiempo que tardaría en abrirse la válvula, y las pendientes de las evoluciones anteriores, instantes antes de abrirse la válvula.

c) Calcular la producción de entropía por unidad de tiempo y su valor global hasta que se abre la válvula.

d) Calcular las pendientes de las evoluciones anteriores, instantes después de abrirse la válvula.

e) Calcular el gasto másico de aire que empezaría a salir.

Datos:

>	read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):

>	su:="Aire":dat:=[V1=2*m_^3,V2=1*m_^3,Dp=10e3*Pa_,Qdot=500*W_];

Esquema:

>

Eqs. const.:

>	dat:=op(dat),get_gas_data(su),Const,SI2,SI1:

a) Hacer un diagrama esquemático de la evolución temporal esperada de la presión, temperatura y densidad en cada depósito.

Hipótesis básica: se supone válida la aproximación de considerar una única temperatura media representativa en cada depósito.

b) Calcular el tiempo que tardaría en abrirse la válvula, y las pendientes de las evoluciones anteriores, instantes antes de abrirse la válvula.
Se abrirá cuando p1=p2+Dp. La evolución será de una masa de aire calentándose a volumen constante.

>

eq1_5;eq1_14;eq1_16;m10_:=subs(V=V1,p=p0,T=T0,dat,solve(eq1_14,m)):'m10'=evalf(%,2);m20_:=subs(V=V2,p=p0,T=T0,dat,solve(eq1_14,m)):'m2'=evalf(%,2);eqBE1:=m1*c[v]*(T1-T10)=0+Qdot*t;t1:=subs(T1=T11,solve(eqBE1,t));eqBM1:=p11/T11=p10/T10;t1_:=subs(T11=solve(eqBM1,T11),t1);p11:=p10+Dp;p10:=p0;T10:=T0;p11_:=subs(dat,p11):'p11'=evalf(%,2);t1_:=subs(m1=m10_,p11=p11_,dat,t1_):'t1'=evalf(%,2);T11='p11*V1/(m10*R)';T11_:=subs(dat,p11_*V1/(m10_*R)):'T11'=evalf(%,3);

i.e. se abrirá al cabo de 100 s, cuando la presión en 1 haya alcanzado los 110 kPa. La temperatura en 1 habrá subido hasta 317 K.

Cálculo de las pendientes de las evoluciones antes de abrirse la válvula.

>	eqBM1:=m1=m10;eqBE1:=T1=expand(subs(eqBM1,solve(eqBE1,T1)));eq1:=dT1/dt=diff(rhs(eqBE1),t);eq1_:=subs(m10=m10_,dat,eq1):evalf(%,2);eqET1:=p1=expand(subs(V=V1,m=m10,T=T1,eqBE1,solve(eq1_14,p)));eq2:=dp1/dt=diff(rhs(eqET1),t);eq2_:=subs(m10=m10_,dat,eq2):evalf(%,2);eqrho1:=rho1=m10/V1;drho1/dt=0;

i.e.en el 1, la temperatura varía 0,29 K/s, la presión 100 Pa/s y la densidad no varía. En el 2 no varía nada.

c) Calcular la producción de entropía por unidad de tiempo y su valor global hasta que se abre la válvula

>

Sgen:=DS-Int(1/T,Q);Sgen:=DS1;DS1:=m1*c[v]*ln(T11/T10);DS1_:=evalf(subs(m1=m10_,T11=T11_,dat,%));Sgen_dot:=m1*c[v]*Diff(T1(t),t)/T1(t);Sgen_dot:=m10*c[v]*rhs(eq1)/(T0+rhs(eq1)*t);Sgen_dot0:=subs(t=0,Sgen_dot);Sgen_dot0_:=evalf(subs(dat,%));Sgen_dot1:=subs(t=t1,Sgen_dot);Sgen_dot1_:=evalf(subs(m10=m1,m1=m10_,T11=T11_,dat,%));

	(1)

i.e. la generación de entropía por unidad de tiempo va disminuyendo con el tiempo, siendo de 1,74 W/K al inicio y de 1,58 W/K cuando abre la válvula.  

d) Calcular las pendientes de las evoluciones anteriores, instantes después de abrirse la válvula.
Inmediatamente después de abrirse la válvula, los valores de la temperatura, presión y densidades no habrán variado de los de un poco antes.

Tomando como referencia u=0 y s=0 a T=0 K (será también h=u+pv=u+RT=0 a 0 K):

>

eq5_16;eqBE1:=d(m1*u1)=Qdot*dt+h1*dm1;eqBE2:=d(m2*u2)=h1*dm2;eqBE1:=d(m1*c[v]*T1)=0+Qdot*dt+c[p]*T1*dm1;eqBE2:=d(m2*c[v]*T2)=0+0+c[p]*T1*dm2;eqDp:=p1=p2+Dp;eqDp_:=dp1=dp2;eqm:=m1+m2=m10+m20;eqm:=dm1=-dm2;eqET_:=d(m*c[v]*T)=d(p*V)*c[v]/R;eqET__:=d(m*c[v]*T)=(V/(gamma-1))*dp;eqBE2:=V2*dp2/(gamma-1)=c[p]*T1*dm2;eqBE2:=V2*dp1/(gamma-1)=-c[p]*(p1*V1/(m1*R))*dm1;eqBE2_:=dp1/p1=subs(R=((gamma-1)/gamma)*c[p],solve(%,dp1)/p1);eqBE1_:=V1*dp1/(gamma-1)=Qdot*dt+c[p]*T1*dm1;eqBE1_:=V1*dp1/(gamma-1)=Qdot*dt+c[p]*(p1*V1/(m1*R))*dm1;eqBE1_:=subs(R=((gamma-1)/gamma)*c[p],%);eqBE1_:=subs(dm1=-(dp1/p1)*(V2*m1/(gamma*V1)),%);eqBE12:=(V1+V2)*dp1/(gamma-1)=Qdot*dt;eqpdot:=dp1/dt=Qdot*(gamma-1)/(V1+V2);subs(dat,%):evalf(%,2);eqBE2__:=dm1/dt=solve(subs(dp1=rhs(eqpdot)*dt,eqBE2_),dm1)/dt;eqBE2__ini:=subs(m1=m10_,p1=p11_,dat,%):eqBE2__ini_:=evalf(%,2);%*1000;eq1_14;T=p*V/(m*R);eqT_:=dT=V*dp/(m*R)-p*V*dm/(m^2*R):%;eqTdot1_ini:=dT1/dt=subs(V=V1,dp=rhs(eqpdot),m=m10_,p=p11_,dm=rhs(eqBE2__ini),dat,rhs(eqT_)):evalf(%,2);eqTdot2_ini:=dT2/dt=subs(V=V2,dp=rhs(eqpdot),m=m20_,p=p0,dm=-rhs(eqBE2__ini),dat,rhs(eqT_)):evalf(%,2);

i.e., al abrirse la válvula empieza a salir aire a razón de dm1/dt=0,52 g/s del 1 al 2, disminuyendo con el tiempo. Nótese que dm2/dt=-dm1/dt.

La presión del 1 sigue creciendo linealmente con el tiempo, pero a 67 Pa/s en vez de a 100 Pa/s. Este resultado se hubiese obtenido más sencillamente considerando todo el aire a la vez. Nótese que dp2/dt=dp1/dt.

La temperatura del 1 sigue creciendo, pero ya no linealmente sino exponencialmente, con una pendiente que pasa de 0,29 K/s a 0,26 K/s al abrirse la válvula.

La temperatura del 2 crece también exponencialmente, pasando de 0 a 0,07 K/s tras la apertura de la válvula.

e) Calcular el gasto másico de aire que empezaría a salir.

(Ya hecho).

>	mdot=-rhs(eqBE2__ini_)*1000*g_/kg_;

>