>	restart:#"m05np44"

Se han extraído los siguientes datos de una nota de prensa. Se piensa construir el año próximo en Australia una central eléctica de energía térmica solar, que constaría de una torre hueca de 1000 m de altura y 130 m de diámetro, en el centro de una techumbre circular transparente de 4 km de diámetro que calentaría el aire inferior, el cual saldría por esa chimenea a 15 m/s y 60 ºC, después de atravesar 32 turbinas eólicas en su base que generarían 200 MW de electricidad. Se pide:
a) Hacer un esquema de la instalación y plantear los balances másico, energético y exergético.
b) Determinar el flujo másico de aire en la chimenea, su exergía específica, y la potencia máxima extraíble, comentando su comparación con la potencia producida.
c) Estimar el aporte de energía solar en la planta. Para ello, se puede partir del valor de la constante solar, que es de 1370 W/m2 de irradiación normal extraterrestre, y aplicar una disminución del 40% debido al filtro atmosférico y la reflexión solar, el factor de oblicuidad por latitud terrestre (supóngase 33 ºS), y el factor temporal que resulta de un modelo de irradiación solar senoidal, con máximo a mediodía (a las 12 h) y valor nulo a las 6 h (amanecer) y a las 18 h (atardecer).
d) Estimar la potencia mecánica que podría generarse en las turbinas mediante la siguiente aproximación. En primer lugar, estimar el 'tiro' de la chimenea como la diferencia de presiones debida a una columna de aire caliente quieto, respecto al aire ambiente frío. Después, despreciar las perdidas de presión por fricción y aplicar la ecuación de Bernoulli generalizada  para obtener el trabajo específico.

Datos:

>	read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):assume(t>0,t6>0,t18=3*t6,t24=4*t6);

>	su:="Aire":dat:=[L=1000*m_,d=130*m_,D=4000*m_,P=200e6*W_,v=15*m_/s_,T1=(60+273)*K_,Cs=1370*W_/m_^2,factor=0.6,Lat=33*Pi/180,t6=6*3600*s_,t18=18*3600*s_,t24=24*3600*s_,lambda=0.05];

Esquema:

>

>

Eqs. const.:

>	dat:=op(dat),get_gas_data(su),Const,SI2,SI1:

a) Hacer un esquema de la instalación y plantear los balances másico, energético y exergético.

>	eqBM:=rho[e]*v[e]*A[e]=rho[e]*v[e]*A[e];eqBE:=mdot*(h1-h0)=Qdot_in-Wdot_out;eqBX:=mdot*(phi1-phi0)=Qdot_in*(1-T0/Ttechum)-Wdot_out-T0*Sdot_gen;

Las presiones variarán poco respecto a la atmosférica (coincidirán a la entrada y a la salida). Como las temperaturas tampoco varían mucho (un 15% absoluto), el balance másico se puede aproximar a vA=cte.; el área de entrada será mucho mayor que la de salida, y por tanto las velocidades a la inversa.

El balance energético sirve de comparación del calor que entra, con el trabajo que sale y la energía que se lleva el escape.

El balance exergético enseña que la exergía que aporta el calor solar se invierte en tres sumandos: la exergía que sale de las turbinas, la que se pierde por fricción dentro de la planta, y la que se escapa a la salida (a la entrada es nula)

Como de costumbre, tomaremos 15 ºC para la temperatura media atmosférica (también el dato de los 60 ºC será una media representativa).

b) Determinar el flujo másico de aire en la chimenea, su exergía específica, y la potencia máxima extraíble, comentando su comparación con la potencia producida.

>

mdot:='rho*v*Ach';rho1:=p0/(R*T1);rho1_:=subs(dat,rho1);Ach:=Pi*d^2/4;Ach_:=evalf(subs(dat,Ach));mdot_:=subs(dat,rho1_*v*Ach_);Dphi:=Dh-T0*Ds;Dh:=c[p]*(T1-T0);Ds:=c[p]*ln(T1/T0);Dphi_:=subs(dat,evalf(subs(dat,Dphi)));DPhi:='mdot*Dphi';DPhi_:=subs(dat,evalf(mdot_*Dphi_));'DPhi'=evalf(DPhi_*MW_/(1e6*W_));

i.e. ¡200 toneladas de aire por segundo!, que podrían generar un máximo de 670 MW, más de los 200 MW que se indican, aunque no son variables comparables, pues de los datos parece que se deduce que esas condiciones corresponden al estado medio una vez pasadas las turbinas; es decir, una vez generados los 200 MW, ¡todavía se podrían generar un máximo de 670 MW más!

>

c) Estimar el aporte de energía solar en la planta. Para ello, se puede partir del valor de la constante solar, que es de 1370 W/m2 de irradiación normal extraterrestre, y aplicar una disminución del 40% debido al filtro atmosférico y la reflexión solar, el factor de oblicuidad por latitud terrestre (supóngase 33 ºS), y el factor temporal que resulta de un modelo de irradiación solar senoidal, con máximo a mediodía (a las 12 h) y valor nulo a las 6 h (amanecer) y a las 18 h (atardecer).

>

q:=piecewise(t>t6 and t<t18,q0Lat*sin(2*Pi*(t-t6)/t24),0);qmean:=int(q,t=0..t24)/t24;q0:=Cs*factor;q0_:=subs(dat,q0);q0Lat:=q0*cos(Lat);q0Lat_:=evalf(subs(dat,q0Lat));qmean_:=subs(dat,qmean);plot(subs(dat,SI0,q),t=0..subs(dat,SI0,t24),color=black);A:=Pi*D^2/4;A_:=evalf(subs(dat,A));Qdot_in_mean:='qmean*A';Qdot_in_mean_:=subs(dat,evalf(subs(dat,qmean_*A_))):'Qdot_in_mean'=evalf(Qdot_in_mean_*MW_/(1e6*W_));

i.e., los 1370 W por m2 normal extraterrestre, se reducen a 690 W por m2 de techumbre, a mediodía, lo que da una media diaria de 220 W/m2, que multiplicada por los casi 13 millones de m2 de techumbre dan lugar a unos 2800 MW.

Una estimación de la exergía correspondiente a ese flujo de calor que recibe el aire sería Q*(1-T0/Techum), donde Ttechum sería la temperatura media de la techumbre y el suelo, que habrá de ser obviamente mayor que la Tsalida. Para obtener un orden de magnitud conservativo, puede tomarse Ttechum=T1, obteniéndose:

>	Wdot_maxmin:='Qdot_in_mean*(1-T0/T1)';Wdot_maxmin_:=subs(dat,evalf(subs(dat,Wdot_maxmin))):'Wdot_maxmin'=evalf(Wdot_maxmin_*MW_/(1e6*W_));

i.e., se concluye que los 200 MW anunciados parecen muy razonables.

d) Estimar la potencia mecánica que podría generarse en las turbinas mediante la siguiente aproximación. En primer lugar, estimar el 'tiro' de la chimenea como la diferencia de presiones debida a una columna de aire caliente quieto, respecto al aire ambiente frío. Después, despreciar las perdidas de presión por fricción y aplicar la ecuación de Bernoulli generalizada  para obtener el trabajo específico.

>

eqTiro:=Dpt='(rho0-rho1)*g*L';eqTiro:=Dpt='rho1*alpha*(T1-T0)*g*L';alpha:=1/T1;eqTiro_:=subs(dat,eqTiro);eqDrag:=Dpt='lambda*(3*L/d)*rho1*v^2/2+rho1*wT';eqDrag_:=subs(dat,eqDrag);wT_:=subs(dat,solve(subs(eqTiro_,eqDrag_),wT));WT:='mdot*wT';WT_:=subs(dat,evalf(mdot_*wT_)):'WT'=evalf(WT_*MW_/(1e6*W_));

Este sí que es un resultado estrecho de margen; si ahora se añaden las pérdidas por fricción en toda la instalación (planta+turbinas+torre), ya empieza a ser dudoso que funcione así.

Conclusión final. Este modelo de tiro térmico de la chimenea solar da un valor de la  potencia producible muy cercano al valor nominal, así que no resulta obvio que el valor de 200 MW sea alcanzable (o el estudio de diseño se ha desarrollado tanto que la incertidumbre es pequeña, o hay que estudiarlo más detalladamente).

ANEXO