> restart:#"m03_p24"

¿Qué cuesta más trabajo, comprimir aire ambiente en un sistema cilindro-émbolo hasta doblar la presión adiabáticamente o isotérmicamente? Hacer aplicación numérica para 1 m3 de aire a 100 kPa y 15 ºC.

Datos:

> read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):with(plots):

> su1:="Aire":dat:=[V=1*m_^3,p0=1e5*Pa_,T0=288*K_,p12=2];

[V = `*`(`^`(m_, 3)), p0 = `+`(`*`(0.1e6, `*`(Pa_))), T0 = `+`(`*`(288, `*`(K_))), p12 = 2]

> eqET:=p*V=m*R*T;eqEE:=eq1_16;eqS:=p1*V1^gamma=p2*V2^gamma;gdat:=get_gas_data(su1):dat:=op(dat),gdat,Const,SI2,SI1:

`*`(p, `*`(V)) = `*`(m, `*`(R, `*`(T)))
DU = `*`(m, `*`(c[v], `*`(DT)))
`*`(p1, `*`(`^`(V1, gamma))) = `*`(p2, `*`(`^`(V2, gamma)))

Se trata de un proceso de una masa fija (o masa de control, MC).

El trabajo que es necesario aportar será el trabajo que reciba el gas menos el trabajo que hace la atmósfera (Wu=W+p0*DV).

No hace falta integrar el dW=-pdV porque ya se ha hecho muchas veces con el resultado siguiente:

-a T=cte=T0, dW=-(mRT/V)dV, W_Tcte=mRTln(p2/p1).

-a S=cte (porque dentro de los procesos adiabáticos el isoentrópico es el que menos trabajo necesita, al no haber disipaciones), dW=-p1*(V/V1)^g*dV...

> W_Scte:=m*c[v]*(T2-T1);W_Scte:=m*c[v]*T0*((p2/p1)^((gamma-1)/gamma)-1);W_Tcte:=m*R*T0*ln(p2/p1);W_Tcte:=(gamma-1)*m*c[v]*T0*ln(p2/p1);WScte_W_Tcte:=((p2/p1)^((gamma-1)/gamma)-1)/((gamma-1)*ln(p2/p1));W_Scte_W_Tcte:=((pi12)^((gamma-1)/gamma)-1)/((gamma-1)*ln(pi12));plot([seq(subs(gamma=1.4+i/5,W_Scte_W_Tcte),i=-1..1)],pi12=1..3,'W_Scte_W_Tcte'=0..1.1);

`*`(m, `*`(c[v], `*`(`+`(T2, `-`(T1)))))
`*`(m, `*`(c[v], `*`(T0, `*`(`+`(`^`(`/`(`*`(p2), `*`(p1)), `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))), `-`(1))))))
`*`(m, `*`(R, `*`(T0, `*`(ln(`/`(`*`(p2), `*`(p1)))))))
`*`(`+`(gamma, `-`(1)), `*`(m, `*`(c[v], `*`(T0, `*`(ln(`/`(`*`(p2), `*`(p1))))))))
`/`(`*`(`+`(`^`(`/`(`*`(p2), `*`(p1)), `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))), `-`(1))), `*`(`+`(gamma, `-`(1)), `*`(ln(`/`(`*`(p2), `*`(p1))))))
`/`(`*`(`+`(`^`(pi12, `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))), `-`(1))), `*`(`+`(gamma, `-`(1)), `*`(ln(pi12))))
Plot_2d

i.e.  el trabajo que recibe el gas en la compresión rápida (Scte) es siempre menor que en la compresión lenta (Tcte), WScte_W_Tcte<1, independientemente de la relación de presiones p2/p1 y de la gamma (la curva roja es para gamma=1,2, la azul para 1,4, y la verde para 1,6).

Este resultado parece contradecir la intuición de que los procesos isotermos consumen menos trabajo que los adiabáticos.

Si comparamos los trabajos útiles:

> Wu:=W+p0*DV;DV_Scte:=V1*((p1/p2)^(1/gamma)-1);DV_Tcte:=V1*(p1/p2-1);Wu_Scte:=W_Scte+p0*DV_Scte;Wu_Tcte:=W_Tcte+p0*DV_Tcte;eq1:=V1=(gamma-1)*m*c[v]*T0/p1;Wu_Scte_Wu_Tcte:=simplify(subs(eq1,p2=pi12*p1,p1=p0,Wu_Scte/Wu_Tcte));plot([seq(subs(gamma=1.4+i/5,Wu_Scte_Wu_Tcte),i=-1..1)],pi12=1..3,'Wu_Scte_Wu_Tcte'=0..1.1);

`+`(`*`(DV, `*`(p0)), W)
`*`(V1, `*`(`+`(`^`(`/`(`*`(p1), `*`(p2)), `/`(1, `*`(gamma))), `-`(1))))
`*`(V1, `*`(`+`(`/`(`*`(p1), `*`(p2)), `-`(1))))
`+`(`*`(V1, `*`(`+`(`^`(`/`(`*`(p1), `*`(p2)), `/`(1, `*`(gamma))), `-`(1)), `*`(p0))), `*`(m, `*`(c[v], `*`(T0, `*`(`+`(`^`(`/`(`*`(p2), `*`(p1)), `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))), `-`(1))))...
`+`(`*`(V1, `*`(`+`(`/`(`*`(p1), `*`(p2)), `-`(1)), `*`(p0))), `*`(`+`(gamma, `-`(1)), `*`(m, `*`(c[v], `*`(T0, `*`(ln(`/`(`*`(p2), `*`(p1)))))))))
V1 = `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1)), `*`(m, `*`(c[v], `*`(T0)))), `*`(p1))
`/`(`*`(`+`(`*`(gamma, `*`(`^`(`/`(1, `*`(pi12)), `/`(1, `*`(gamma))))), `-`(`^`(`/`(1, `*`(pi12)), `/`(1, `*`(gamma)))), `^`(pi12, `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))), `-`(gamma)), `*`(pi12)), ...
Plot_2d

Aplicación numérica.

> eqm:=m=p0*V/(R*T0);eqm_:=subs(dat,%);W_Scte_:=evalf(subs(p2=p12*p1,eqm_,dat,W_Scte));W_Tcte_:=subs(dat,evalf(subs(V1=V,p2=p12*p1,eqm_,dat,W_Tcte)));Wu_Scte_:=subs(V1=V,p2=p12*p1,eqm_,dat,Wu_Scte);Wu_Tcte_:=subs(dat,evalf(subs(V1=V,p2=p12*p1,eqm_,dat,Wu_Tcte)));

m = `/`(`*`(p0, `*`(V)), `*`(R, `*`(T0)))
m = `+`(`*`(1.2111431855237484297, `*`(kg_)))
`+`(`*`(54762.930479454858473, `*`(J_)))
`+`(`*`(69314.718055994530949, `*`(J_)))
`+`(`*`(15706.565803130170784, `*`(J_)))
`+`(`*`(19314.718055994530949, `*`(J_)))

i.e. si se duplica la presión lentamente hay que aportar WuTcte=19 kJ, y se si hace rápido WuScte=16 kJ.

Este resultado paradójico (el proceso isotermo menos eficiente que el isoentrópico) se explica por la falta de especificación de la temperatura final. En ambos casos no se ha generado entropia y por tanto el aporte de trabajo útil se ha acumulado integramente como exergía (no ha habido disipación), pero en el caso isotermo hemos pasado de 100 kPa , 15 ºC y 1 m3, a 200 kPa, 15 ºC y 0,5 m3, mientras que en el caso isoentrópico hemos pasado de 100 kPa , 15 ºC y 1 m3, a 200 kPa, 78 ºC y 0,6 m3.  

> V2S:=V*(p1/p2)^(1/gamma);V2S_:=subs(p2=p12*p1,dat,%);T2S:=T0*(p2/p1)^((gamma-1)/gamma);T2S_:=subs(p2=p12*p1,dat,%);'T2S_'=TKC(%);

`*`(V, `*`(`^`(`/`(`*`(p1), `*`(p2)), `/`(1, `*`(gamma)))))
`+`(`*`(.60943635323675312311, `*`(`^`(m_, 3))))
`*`(T0, `*`(`^`(`/`(`*`(p2), `*`(p1)), `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma)))))
`+`(`*`(351.03533946436979891, `*`(K_)))
T2S_ = `+`(`*`(77.88533946436979891, `*`(C)))

Todavía se podría arguir: "mejor; con menos trabajo, además de comprimir, hemos calentado".

Pero la explicación es que 0,6 m3 de aire a 200 kPa y 78 ºC tienen menos exergía que 0,5 m3 de aire a 200 kPa y 15 ºC.

Nota. En los sistemas de volumen de control, i.e. cuando se usan compresores en régimen estacionario en vez de una única compresión a masa fija, no se da esta paradoja y sí es verdad que cuesta más trabajo comprimir isentrópicamente que isotérmicamente.

En este caso (VC) Wu=W y, por unidad de gasto másico:

> w_Scte:=c[p]*T0*((p2/p1)^((gamma-1)/gamma)-1);w_Tcte:=R*T0*ln(p2/p1);w_Scte_w_Tcte:=gamma*((pi12)^((gamma-1)/gamma)-1)/((gamma-1)*ln(pi12));plot([seq(subs(gamma=1.4+i/5,w_Scte_w_Tcte),i=-1..1)],pi12=1..3,'w_Scte_w_Tcte'=0..1.5);w_Scte_:=evalf(subs(p2=p12*p1,dat,w_Scte));w_Tcte_:=subs(dat,evalf(subs(p2=p12*p1,dat,w_Tcte)));

`*`(c[p], `*`(T0, `*`(`+`(`^`(`/`(`*`(p2), `*`(p1)), `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))), `-`(1)))))
`*`(R, `*`(T0, `*`(ln(`/`(`*`(p2), `*`(p1))))))
`/`(`*`(gamma, `*`(`+`(`^`(pi12, `/`(`*`(`+`(gamma, `-`(1))), `*`(gamma))), `-`(1)))), `*`(`+`(gamma, `-`(1)), `*`(ln(pi12))))
Plot_2d
`+`(`/`(`*`(63287.480822227278101, `*`(J_)), `*`(kg_)))
`+`(`/`(`*`(57230.820339396929900, `*`(J_)), `*`(kg_)))

Nótese de paso, que comprimir 1 kg de aire de 100 kPa a 200 kPa a masa fija apenas cuesta 16 kJ (como se ha visto antes para 1 m3), mientras que comprimirlo estacionariamente cuesta 63 kJ por cada kilo en un compresor isoentrópico (más en un compresor real, rotodinámico o volumétrico).

Representación de las evoluciones en los diagramas p-V y T-s (en este último se han dibujado también las dos isobaras).

> plT:=plot(subs(dat,SI0,p0*V/V_),V_=1..0.5,p_=0..2e5):plS:=plot(subs(dat,SI0,p0*(V/V_)^gamma),V_=1..0.61):display([plT,plS],view=[0..1,0..2e5]);plot([[[0,288],[200,288]],[[200,288],[200,351]],subs(dat,SI0,T0*exp((s-200)/c[p])),subs(dat,SI0,T0*exp((s+0)/c[p]))],s=0..210,T_=0..400);

Plot_2d
Plot_2d

>