> restart:#"m01_p29"

Considérese un cilindro vertical de 1 cm de diámetro y 10 cm de altura, cerrado y apoyado por abajo, y un émbolo macizo de 10 cm de altura dispuesto justo en la embocadura del cilindro (en realidad se solaparían algo para el guiado, obviamente), de masa despreciable frente a la de una pesa de 1 kg situada a 0,3 m por encima del émbolo, y que en un instante dado se deja caer sobre él. Se pide:
a) Balances mecánico y energético durante la compresión.

b) Balances mecánico y energético en el estado de mayor presión, y valor de ésta.
c) Sabiendo que en el fondo del cilindro había unos trocitos de papel, que en contacto con el aire se irán calentando, descomponiendo endotérmicamente (la celulosa empieza a descomponerse a los 550 K) y autoinflamando exotérmicamente (la celulosa se autoinflama a los 700 K), según la temperatura alcanzada, indicar qué se espera que ocurra.

Datos:

> read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):

> su1:="Aire":dat:=[D=0.01*m_,L=0.1*m_,Le=0.1*m_,z[1]=0.1*m_,m[p]=1*kg_,Lp=0.3*m_]:dat:=[op(dat),A=evalf(subs(dat,Pi*D^2/4))]:evalf(%);

[D = `+`(`*`(0.1e-1, `*`(m_))), L = `+`(`*`(.1, `*`(m_))), Le = `+`(`*`(.1, `*`(m_))), z[1] = `+`(`*`(.1, `*`(m_))), m[p] = kg_, Lp = `+`(`*`(.3, `*`(m_))), A = `+`(`*`(0.7853981635e-4, `*`(`^`(m_, 2)...

Image

Esquema:

> `assign`(Sistemas, [aire_dentro, embolo, amb])

[aire_dentro, embolo, amb]

> `assign`(Estados, [1 = inicial, 2 = mas_bajo])

[1 = inicial, 2 = mas_bajo]

Eqs. const.:

> eqET:=subs(eq1_11,eq1_12);eqEE:=eq1_16;gdat:=get_gas_data(su1):dat:=op(dat),gdat,Const,SI2,SI1:

`/`(`*`(m), `*`(V)) = `/`(`*`(p), `*`(R, `*`(T)))
DU = `*`(m, `*`(c[v], `*`(DT)))

a) Balance mecánico y energético durante la compresión.

> eqBFp:=m[p]*diff(z(t),t,t)=p(z)*A-p0*A-m[p]*g-Ff;eqBFpI:=m[p]*(diff(z(t),t)^2/2-v[L]^2/2)=Int(p(z),z=L..z)-(p0*A+m[p]*g)*(z(t)-L);eqBEa:=m*c[v]*(T(z)-T0)+m*g*z(t)/2+(1/2)*m*diff(z(t),t)^2/4=Q+W;Q:=0;W:=-Int(-p(z)*A,z=L..z);eqBEa:=m*c[v]*(T(z)-T0)=-(p0*A+m[p]*g)*(z(t)-L)-m[p]*(diff(z(t),t)^2/2-v[L]^2/2);eqBFchoque:=v[L]=sqrt(2*g*Lp);eqBFchoque:=v[L]=evalf(subs(dat,rhs(%)));eqBMa:=m=p0*A*L/(R*T0);eqBMa_:=evalf(subs(dat,eqBMa)):%*1e6;

`*`(m[p], `*`(diff(diff(z(t), t), t))) = `+`(`*`(p(z), `*`(A)), `-`(`*`(p0, `*`(A))), `-`(`*`(m[p], `*`(g))), `-`(Ff))
`*`(m[p], `*`(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(diff(z(t), t), 2))), `-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(v[L], 2))))))) = `+`(Int(p(z), z = L .. z), `-`(`*`(`+`(`*`(p0, `*`(A)), `*`(m[p], `*`(g))), `*`(`+`(z(t), `-`(...
`+`(`*`(m, `*`(c[v], `*`(`+`(T(z), `-`(T0))))), `*`(`/`(1, 2), `*`(m, `*`(g, `*`(z(t))))), `*`(`/`(1, 8), `*`(m, `*`(`^`(diff(z(t), t), 2))))) = `+`(Q, W)
0
`+`(`-`(Int(`+`(`-`(`*`(p(z), `*`(A)))), z = L .. z)))
`*`(m, `*`(c[v], `*`(`+`(T(z), `-`(T0))))) = `+`(`-`(`*`(`+`(`*`(p0, `*`(A)), `*`(m[p], `*`(g))), `*`(`+`(z(t), `-`(L))))), `-`(`*`(m[p], `*`(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(diff(z(t), t), 2))), `-`(`*`(`/...
v[L] = `*`(`^`(2, `/`(1, 2)), `*`(`^`(`*`(g, `*`(Lp)), `/`(1, 2))))
v[L] = `+`(`/`(`*`(2.425693714, `*`(m_)), `*`(s_)))
m = `/`(`*`(p0, `*`(A, `*`(L))), `*`(R, `*`(T0)))
`+`(`*`(0.1e7, `*`(m))) = `+`(`*`(9.512296337, `*`(kg_)))

Por ser despreciable la masa del émbolo, la velocidad inicial de éste tras el choque es la misma que la de impacto de la pesa, 2,4 m/s. La masa de aire atrapado también es pequeñísima, 9,5 miligramos.

b) Balance mecánico y energético en el estado de mayor presión.

En el estado de mayor presión la velocidad es nula.
Despreciando la fricción para esta primera fase:

> eqBEa1:=m*c[v]*(T1-T0)=-(p0*A+m[p]*g)*(z1-L)-m[p]*(0-v[L]^2/2);eqBEa1_:=subs(eqBFchoque,dat,eqBMa_,eqBEa1);eq2:=T1*z1^(gamma-1)=T0*z0^(gamma-1);T1:=T0*(L/z1)^(gamma-1);eq1_:=subs(eqBFchoque,dat,eqBMa_,eqBEa1_):z1_:=fsolve(subs(SI0,eq1_),z1)*m_;T1_:=subs(z1=z1_,dat,T1);'T1_'=TKC(%);p1_:=subs(dat,p0*(L/z1_)*(T1_/T0));

`*`(m, `*`(c[v], `*`(`+`(T1, `-`(T0))))) = `+`(`-`(`*`(`+`(`*`(p0, `*`(A)), `*`(m[p], `*`(g))), `*`(`+`(z1, `-`(L))))), `*`(`/`(1, 2), `*`(m[p], `*`(`^`(v[L], 2)))))
`+`(`/`(`*`(0.6823268565e-2, `*`(kg_, `*`(`^`(m_, 2), `*`(`+`(T1, `-`(`*`(288, `*`(K_)))))))), `*`(`^`(s_, 2), `*`(K_)))) = `+`(`-`(`/`(`*`(17.66063164, `*`(kg_, `*`(m_, `*`(`+`(z1, `-`(`*`(.1, `*`(m_...
`*`(T1, `*`(`^`(z1, `+`(gamma, `-`(1))))) = `*`(T0, `*`(`^`(z0, `+`(gamma, `-`(1)))))
`*`(T0, `*`(`^`(`/`(`*`(L), `*`(z1)), `+`(gamma, `-`(1)))))
`+`(`*`(0.4848199598e-2, `*`(m_)))
`+`(`*`(965.4518477, `*`(K_)))
T1_ = `+`(`*`(692.3018477, `*`(C)))
`+`(`*`(6914449.976, `*`(Pa_)))

i.e. el émbolo baja desde los 100 mm de altura inicia hasta 5 mm, aumentando la temperatura del aire desde los 15 ºC iniciales hasta 690 ºC, y la presión desde 0,1 MPa hasta 6,9 MPa.

Como parece excesivo el valor del calentamiento, para comprobarlo, podemos hacer la aproximación de simplemente calentar el aire con la energía potencial máxima (sin contar el trabajo atmosférico):

> eqBEaprox:=m*c[v]*(T1aprox-T0)=m[p]*g*(Lp+L);eqBEaprox_:=subs(eqBFchoque,dat,eqBMa_,eqBEaprox);T1aprox_:=subs(dat,solve(%,T1aprox));'T1aprox'=TKC(%);

`*`(m, `*`(c[v], `*`(`+`(T1aprox, `-`(T0))))) = `*`(m[p], `*`(g, `*`(`+`(Lp, L))))
`+`(`/`(`*`(0.6823268565e-2, `*`(kg_, `*`(`^`(m_, 2), `*`(`+`(T1aprox, `-`(`*`(288, `*`(K_)))))))), `*`(`^`(s_, 2), `*`(K_)))) = `+`(`*`(3.922660, `*`(J_)))
`+`(`*`(862.8945632, `*`(K_)))
T1aprox = `+`(`*`(589.7445632, `*`(C)))

i.e., unos 590 ºC, que no es mala aproximación.

c) Sabiendo que en el fondo del cilindro había unos trocitos de papel, que en contacto con el aire se irán calentando, descomponiendo endotérmicamente (la celulosa empieza a descomponerse a los 550 K) y autoinflamando exotérmicamente (la celulosa se autoinflama a los 700 K), según la temperatura alcanzada, indicar qué se espera que ocurra.

Si la masa de papel es pequeña frente a la del aire, la temperatura del papel irá siguiendo a la del aire; al descomponerse endotérmicamente, se retrasará un poco más, pero como el aire llegaría a alcanzar unos 900 K (si la disipación por fricción en la pared no es muy grande), puede que sí llegue a inflamarse el papel.

En la práctica, parece ser que el hombre primitivo llegó a usar un dispositivo similar para hacer fuego golpeando fuertemente con la mano un vástago dentro de una hoquedad cilíndrica.

Nótese que, si a la primera no se enciende, queda ya todo más caliente para la siguiente prueba.

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