>	restart:#"m17_p61"

En un micro-turborreactor se han tomado las medidas siguientes en un ensayo estacionario en banco con aire ambiente a 20 ºC, 94 kPa y 50 % HR. Presión (manométrica) a la entrada del compresor (centrífugo) p1=2,0±0,1 kPa en una toma de Di=65±0.5 mm de diámetro. A la salida del compresor T2=155±5 ºC y p2=115±2 kPa. Consumo de combustible (Jet-A1) 15±1 L/h. Temperatura a la entrada de la turbina (axial) T3=720±10 ºC, presión p3=108±2 kPa. Temperatura a la salida de la turbina T4=585±10 ºC, presión p4=11,0±0.1 kPa. Diámetro de salida de la tobera De=55±1 mm. Se pide.
a) Velocidad y gasto másico a la entrada.
b) Potencia que consume el compresor, y su rendimiento isoentrópico.
c) Potencia térmica que se requeriría para pasar ese flujo de aire desde T2 a T3.
d) Potencia que proporciona la turbina y su rendimiento isoentrópico.
e) Velocidad y temperatura de los gases a la salida.
f) Relación aire/combustible relativa a la estequiométrica, y consumo específico.

g) Potencia térmica del combustible y de los gases de escape. Balance energético del turborreactor.

Datos:

>	read`../therm_chem.m`:with(therm_chem):with(therm_proc):

>	su1:="Aire":su2:="H2O":su3:="C12H24":dat:=[T0=(20+273.15)*K_,p0=94e3*Pa_,Di=65e-3*m_,Dp1=-2.0e3*Pa_,T2=(155+273.15)*K_,Dp2=115e3*Pa_,T3=(720+273.15)*K_,Dp3=108e3*Pa_,T4=(585+273.15)*K_,Dp4=11e3*Pa_,VdotF=(15e-3/3600)*m_^3/s_,De=55e-3*m_];

0=amb, 1=compr_im, 2=compr-out, 3=turb_in, 4=turb_out, 5=exit.

>	dat:=op(dat),get_gas_data(su1),Const,SI2,SI1:Wdat:=get_liq_data(su2):Fdat:=rho=820*kg_/m_^3;

(1)

a) Velocidad y gasto másico a la entrada.

La humedad del aire no será relevante. Como la entrada es amplia, las velocidades no serán muy grandes (M<<1) y la aproximación de flujo incompresible será buena. Solo será necesario distinguir entre variables estáticas y de remanso a la salida de la tobera. Aplicando Bernoulli:

>	eqB:=p0=p1+rho1*v1^2/2;eqB:=Dp1=-rho1*v1^2/2;eqB:=v[1]=sqrt(-2*Dp1/rho1);eqB:=v1=sqrt(-2*Dp1*R*T1/p1);p1_:=subs(dat,p0+Dp1);eqB_:=evalf(subs(T1=T0,p1=p1_,dat,eqB));eqm:=mdot=rho1*v1*A1;A1_:=evalf(subs(dat,Pi*Di^2/4));'A1_'=%*1e4*cm^2/m_^2;eqm_:=subs(eqB_,rho1=p1_/(R*T0),A1=A1_,dat,eqm);

	(2)

i.e. entran 0,22 kg/s de aire a 60 m/s (la incertidumbre esperada es de 0,1/2=0,05, i.e. un 5 % o así).

Si lo hubiéramos resuelto como flujo compresible:

>	eq01:=T1/T0=(p1/p0)^((gamma-1)/gamma);T1_:=subs(p1=p1_,dat,solve(eq01,T1));eqT:=T0=T1+v1^2/(2*c[p]);v1_:=subs(T1=T1_,dat,solve(eqT,v1)[1]);eqm_:=subs(v1=v1_,rho1=p1_/(R*T1_),A1=A1_,dat,eqm);

	(3)

i.e. apenas hay diferencia.

b) Potencia que consume el compresor, y su rendimiento isoentrópico.

>	WdotC:=mdot*Dh;WdotC:=mdot*c[p]*(T2-T1);WdotC_:=subs(T1=T1_,eqm_,dat,WdotC);eqC:=eq5_59;p2_:=subs(dat,p0+Dp2);pi[12]=p2_/p1_;eqC:=subs(pi[12]=p2_/p1_,T1=T1_,dat,eqC);

	(4)

i.e. el compresor tiene una relación de presiones de 2,3, y toma 30 kW con un rendimiento del 56 % (bajo, pero típico de estos pequeños compresores radiales).

c) Potencia térmica que se requeriría para pasar ese flujo de aire desde T2 a T3.

En régimen estacionario y con el modelo de gaire estándar:

>	eqBE:=Dh[t]=q+w;w=0;eqBE:=Q=mdot*c[p]*(T3-T2);c[p]=subs(dat,c[p]);eqBE_:=subs(eqm_,dat,eqBE);

	(5)

i.e. el aire necesitaría 124 kW para pasar de T2 a T3; bueno, algo más porque el cp aumenta con la temperatura y hemos tomado el valor en frío. Aunque en relidad el aire no recibe calor ni trabajo en la cámara de combustión, sino un pequeño gasto de combustible, que al reaccionar con el aire produce este incremento de energía interna térmica a expensas de energía interna química (i.e. Dh=0=Dht+Dhq).

d) Potencia que proporciona la turbina y su rendimiento isoentrópico.

>	WdotT:=mdot*c[p]*(T3-T4);WdotT_:=subs(eqm_,dat,WdotT);eqT:=eq5_60;T3_:=subs(dat,T3);T4_:=subs(dat,T4);p3_:=subs(dat,p0+Dp3);p4_:=subs(dat,p0+Dp4);eqT_:=subs(p3=p3_,p4=p4_,dat,eqT);

	(6)

i.e. la turbina axial da unos 30 kW, con un rendimiento del 80 %. Aunque puede parecer que la turbina da menos potencia de la que toma el compresor, en realidad daría un poco más (un 10 % o así) porque el cp es mayor en caliente, y ese exceso sería el que compensase las pérdidas por fricción en los apoyos (estas microturbinas suelen girar a unas 70 000 rpm, y los cojinetes van lubricados y enfriados con un aceite especial de turbinas)..

e) Velocidad y temperatura de los gases a la salida.

Suponemos que la tobera es isentrópica, despreciamos la energía cinética a la entrada, y pensamos que la salida será subsónica (lo comprobaremos) y por tanto a presión ambiente.

>	eqT45:=T4=T5+v5^2/(2*c[p]);eqp45:=(p4/p5)=(T4/T5)^(gamma/(gamma-1));p5_:=subs(dat,p0);T5_:=fsolve(subs(p4=p4_,p5=p5_,dat,SI0,eqp45),T5=100..1000)*K_;'T5_'=TKC(%);v5_:=solve(subs(T5=T5_,dat,eqT45),v5)[2];eqM:=M=v/c;eqM:=M5=v5/sqrt(gamma*R*T5);eqM_:=subs(v5=v5_,T5=T5_,dat,SI0,eqM);

	(7)

i.e. los gases salen a 558 ºC y 230 m/s. Comprobamos que la salida es subsónica (Mach=0,4; la velocidad del sonido en los gases de salida es c=580 m/s), y por tanto p5=p0.

ADICIONAL.

Conocidas las condiciones de salida y el área de salida, podemos calcular el gasto másico de salida, que será la suma del de entrada de aire más el de combustible. Coomprobemos:

>

eqmE:=mdot=rho5*v5*A5;eqmE:=mdot=(p5/(R*T5))*v5*A5;A5_:=evalf(subs(dat,Pi*De^2/4));'A5_'=%*1e4*cm^2/m_^2;eqmE_:=subs(p5=p5_,T5=T5_,v5=v5_,A5=A5_,dat,eqmE);eqmCheck:=mdot+mdotF=mdotE;eqmF:=mdotF=rho*VdotF;rho[F]=subs(Fdat,rho);eqmF_:=subs(Fdat,dat,eqmF);%*1e3;eqmCheck_:=subs(eqm_,eqmF_,mdotE=mdot,eqmE_,eqmCheck);eqF:=F=mdot*(ve-vi);eqF:=F=mdot*v5;eqF_:=subs(eqmE_,v5=v5_,dat,eqF);

	(8)

i.e. los gastos másicos de entrada y salida concuerdan. El empuje del motor en banco es de unos 50 N.

f) Relación aire/combustible relativa a la estequiométrica, y consumo específico.

>

eqST:=eq_fit(C12H24+a*O2=b*CO2+c*H2O);eqA0:=Ateo(su3);eqA0m:=A[0,mass]=A[0]*M[air]/M[fuel];eqA0m:=A[0,mass]=rhs(eqA0)*subs(dat,M)/rhs(Mf(su3));eqAm:=A=mdot/mdotF;eqAm_:=subs(eqm_,eqmF_,%);lambda=A/A0;lambda=rhs(eqAm_)/rhs(eqA0m);eq15_5;PCI_:=PCI(eqST);PCI_mass:=%/rhs(Mf(su3));TSFC:=mdotF/F;TSFC_:=subs(eqmF_,eqF_,%);'TSFC_'=subs(SI0,%)*1e6*(g/s)/kN;

	(9)

i.e. la relación aire/combustible relativa a la estequiométrica es lambda=A/A0=4,3, y el consumo específico es de 68 g/s por kN (muy alto como era de esperar en estas microturbinas; los grandes turbofanes modernos consumen solo 15 (g/s)/kN).

g) Potencia térmica del combustible, y de los gases de escape. Balance energético del turborreactor.

Usando el poder calorífico inferior, como es costumbre en motores:

>	QdotF:=mdotF*PCI;QdotF_:=subs(eqmF_,PCI=PCI_mass,dat,%);

	(10)

i.e. el combustible suministra 150 kW (PCI), pero antes habíamos calculado que el aire recibe en la cámara de combustión el equivalente a 124 kW de calor. Como ya se indicó allí, la discrepancia se explica por el modelo de aire estándar frío asumido (con cp=cte=1000 J/(kg·K), siendo en realidad cp=1140 J/(kg·K) a 1000 K). Otras posibles contribuciones a este desacuerdo pueden ser la incertidumbre en los datos, que podría ser ya >5 %, y una combustión incompleta (aunque los rendimientos de combustión en las cámaras de las turbinas suelen ser muy altos, >97 %).

>	DHdotE:=mdot*c[p]*(T5-T0);DHdotE_:=subs(eqmE_,T5=T5_,dat,%);EcinE:=mdot*v5^2/2;EcinE_:=subs(eqmE_,v5=v5_,dat,%);DHdotEtot:='DHdotE+EcinE';DHdotEtot_:=DHdotE_+EcinE_;

	(11)

i.e. al motor entran 150 kW (PCI fuel) y salen 123 kW por el escape (117 kW térmicos y 6 kW mecánicos). El resto, los otros 27 kW (150-123) habrán salido por transmisión de calor al ambiente a través de las paredes, el aceite, y los apoyos, pues los inquemados (la entalpía química del chorro de escape) apenas podrían contribuir con un 1..2 %, i.e. unos 2 kW, y la radiación sonora, aunque resulte ensordecedora, tampoco será energéticamente relevante. Nótese que la incertidumbre en las medidas podría justificar una discrepancia del 5..6 %, i.e. hasta unos 10 kW.