Mirando en la Tabla, para una esfera pequeña con una esfera grande:

>	eqFsp:=Fsp=(1/2)*(1-sqrt(1-1/(1+h)^2));eqh:=h=H/R[T];eqh_:=subs(dat,%);eqFsp_:=subs(eqh_,eqFsp);

i.e. el 35 % de lo que emite el satélite (esfera pequeña) va al planeta, y el otro 65 % al fondo del universo. Si ampliáramos el radia terrestre para incluir la atmósfera efeciva (poniendo RT=6400 km en vez de RT=6370 km) el resultado sería casi igual.

d) Carga por emisión planetaria.

>	Qp:=epsilon[s]*As*Fsp*M[OLR];Qp:=epsilon[s]*As*Fsp*epsilon[p]*sigma*Tp^4;Qp_:=subs(eqAs,eqFsp_,dat,%);M[OLR]=subs(dat,epsilon[p]*sigma*Tp^4);

i.e. la Tierra emite 238 W/m2 (OLR=outgoing longwave radiation) y el satélite absorbe 1,3 kW (en el infrarrojo). Esta carga es constante en toda la órbita (Tierra isoterma).

e) Carga por albedo, y representación gráfica de su evolución (y de las demás cargas).

>	Qa:=Qam*Fa;Qa:=alpha[s]*As*Fsp*rho[p]*E*Fa;Qam_:=subs(eqAs,eqFsp_,dat,Qa/Fa);

i.e. la carga máxima por albedo es de 2,1 kW (en el punto subsolar). Para el factor temporal de albedo tomaremos el modelo simple del coseno, mientras que para el factor solar hay que calcular los ángulos de eclipse. Para graficar la evolución de las cargas conviene construir funciones continuas a trozos:

>

Fa:=piecewise(arccos(cos(phi))<Pi/2,1,arccos(cos(phi))>2*Pi-Pi/2,1,0)*cos(phi);plot(Fa,phi=0..2*Pi,'Fa'=0..1);Fs:=piecewise(arccos(cos(phi))<ee,1,arccos(cos(phi))>2*Pi-ee,1,0);ee:=Pi/2+arccos(R[T]/(R[T]+H));ee:=evalf(subs(dat,%));'ee'=evalf(%*180/Pi)*'º';plot(Fs,phi=0..2*Pi);plot(subs(dat,SI0,[Wdis,Qs_*Fs,Qam_*Fa,Qp_]),phi=0..2*Pi,Q_W=0..6000);

i.e. aunque el albedo decae con el coseno hasta 90º, el satélite no entra en eclipse hasta los 107º.

f) Temperatura estacionaria en el punto subsolar y en el opuesto.

Para phi=0 (punto subsolar):

>	eqBE0:=evalf(subs(m=0,phi=0,eqAf,eqAs,eqFsp_,dat,SI0,eqBE));T_0_:=max(fsolve(%,T))*K_;'T_0_'=TKC(%);

y para phi=180º:

>	eqBE180:=evalf(subs(m=0,phi=Pi,eqAf,eqAs,eqFsp_,dat,SI0,eqBE));T_180_:=max(fsolve(%,T))*K_;'T_10_'=TKC(%);

i.e. si estuviera permanentemente en el punto subsolar el satélite alcanzaría 52 ºC, y en eclipse -46 ºC.

g) Temperatura media correspondiente al valor medio orbital de las cargas térmicas.

Si la aproximamos por la que se alcanzaría promediando las cargas térmicas:

>

eqBE:=m*c*dT/dt=Wdis+Qin_mean-'Qinf';Qin_mean:=Qs_mean+Qa_mean;Qs_mean:=alpha[s]*Af*E*Fs_mean;Fs_mean:=Int('Fs',phi=0..2*Pi)/(2*Pi);Fs_mean:=value(%);Facos_mean:=Int('Fa',phi=0..2*Pi)/(2*Pi);Facos_mean:=evalf(value(%));eqBE:=m*c*dT/dt=Wdis+alpha[s]*Af*E*'Fs_mean'+eval(subs(phi=0,Qa))*'Facos_mean'+Qp-Qinf;eqBE_:=subs(dT=0,eqAs,eqAf,eqFsp_,dat,SI0,%);T0_:=fsolve(%,T=200..500)*K_;T0:=((Wdis+alpha[s]*Af*E*'Fs_mean'+alpha[s]*As*Fsp*rho[p]*E*'Facos_mean'+Qp)/(epsilon[s]*As*sigma))^(1/4);T0_:=evalf(subs(eqAs,eqAf,eqFsp_,dat,SI0,%))*K_;'T0_'=TKC(%);;

i.e. la temperatura media orbital sería de 290 K (16 ºC).

h) Temperatura estacionaria (i.e. sin inercia térmica) en cada punto de la órbita.

>	eqBE:=m*c*dT/dt=Wdis+'Qs+Qa+Qp-Qinf';eqBE:=subs(dT=0,eqBE);T_:=(solve(subs(T^4=T4,%),T4))^(1/4);plot(subs(eqAs,eqAf,eqFsp_,dat,SI0,T_-273),phi=0..2*Pi,T_C=-50..100);

i.e. se ve cómo iría bajando del máximo (51 ºC) al mínimo (-49 ºC).

i) Evolución de la temperatura a lo largo de la órbita (con inercia térmica).

Usaremos posición angular en vez de tiempos, con phi=2·Pi·t/To, siendo To el periodo orbital

>

eqBE:=m*c*dT/dt=Wdis+'Qs+Qa+Qp-Qinf';eqBE_:=m*c*Diff(T,phi)*2*Pi/To=rhs(eqBE);eqTo:=To=2*Pi*sqrt(a^3/(G*M));To_:=subs(a=R[T]+H,G=6.67e-11,M=6e24,dat,SI0,rhs(%))*s_;eqBE__:=evalf(subs(To=To_,eqAs,eqAf,eqFsp_,dat,SI0,eqBE_));eqBE___:=subs(phi=x,T=T(x),eqBE__);sol_:=dsolve([eqBE___,T(0)=300],T(x),numeric);N:=599:Norb:=9;plot([seq([rhs(op(1,sol_(Norb*2*Pi*i/N))),rhs(op(2,sol_(Norb*2*Pi*i/N)))],i=0..N)],phi=0..2*Pi*Norb,T_K=280..310);plot([seq([(rhs(op(1,sol_(Norb*2*Pi*i/N)))-2*Pi*(Norb-1)),rhs(op(2,sol_(Norb*2*Pi*i/N)))-273.15],i=N-N/Norb..N)],phi_rad=0..2*Pi,T_C=10..20);Tmin=min([seq([rhs(op(2,sol_(Norb*2*Pi*i/N)))-273.15],i=N-N/Norb..N)])*`ºC`;Tmax=max([seq([rhs(op(2,sol_(Norb*2*Pi*i/N)))-273.15],i=N-N/Norb..N)])*`ºC`;

i.e. las condiciones iniciales (arbitrarias) tardan en amortiguarse por la gran inercia térmica del satélite, alcanzándose el régimen periódico con una Tmax=20 ºC y una Tmin=13 ºC.

NOTA. Este cápsula esférica tiene las mismas dimensiones que la cápsula de reentrada (Vostok-1, en 1961) del primer astronauta (Yuri Gagarin). Sin embargo, durante la órbita (que no fue circular) esta cápsula iba unida al módulo de servicio cuyo cohete la hizo reentrar.

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