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Se trata de estudiar la radiación de una bombilla de 100 W de 6 cm de diámetro medio del bulbo, sabiendo que la longitud de onda de máxima emisión es 10-6 m. Se pide:

a) Temperatura del bulbo, suponiendo que éste absorbiese toda la radiación emitida por el filamento, y la re-radiara.

b) Temperatura del bulbo, calculando sólo el acoplamiento infrarrojo.

c)Temperatura del bulbo, tomando una emisividad para el vidrio =0.9.

d)Temperatura del bulbo, suponiendo, además de =0.9, un coeficiente convectivo exterior hext=20 W/(m2.K)..

e) Temperatura  del gas, sabiendo que las presiones inicial y final son pfin=150 kPa y pini=90 kPa.

f) Transporte convectivo interior suponiendo hint=20 W/(m2.K),

g) Tamaño que ha de tener una bombilla halógena para que la temperatura del bulbo sea >300 ºC (para que no se deposite el halógeno).

Datos:

>	read`../therm_eq.m`:read`../therm_const.m`:read`../therm_proc.m`:with(therm_proc):with(RealDomain):

>	su:="Wolframio":dat:=[Q=-100*W_,lambda[m]=1e-6*m_,Db=0.06*m_,epsilon=0.9,h0=20*W_/(m_^2*K_),p[fin]=1.5e5*Pa,p[ini]=0.9e5*Pa,h1=20*W_/(m_^2*K_),T[h]=(273+300)*K_,lambda1=0.7e-6*m_,lambda2=1*m_];

>	sdat:=get_sol_data(su):dat:=op(dat),Const,SI2,SI1:

a) Temperatura del bulbo, suponiendo que éste absorbiese toda la radiación emitida por el filamento, y la re-radiara.

Si absorbiera los 100 W y emitiera esos 100 W:

>	subs(epsilon=1,eq11_3);Tvidrio0:=solve(subs(epsilon=1,A=Pi*Db^2,T[0]=T0,dat,SI0,eq11_3),T)[1]*K_;Tvidrio0_C=TKC(%);q:=Q/A;q_:=subs(dat,evalf(subs(dat,Q/(Pi*Db^2))));

i.e. el bulbo alcanzaría unos 360 ºC, que no es posible porque el vidrio no resiste tanta temperatura (se reblandece y fluye).

Nótese que el vidrio de ventana no se calienta al pasar un sol intenso (1000 W/m2) y el vidrio de la bombilla quema, pero no por la densidad de flujo (que es casi 9 veces mayor) sino por la distribución espectral.

b) Temperatura del bulbo, calculando el acoplamiento infrarrojo.

Se supone que el visible no interacciona con el vidrio y que éste absorbe todo el infrarrojo (en realidad un espesor de vidrio tan fino como el del bulbo de una bombilla es casi transparente al IR cercano, que es la banda principal de emisión del filamento a 3000 K).

>

Tf:=solve(lambda[m]*T=C[W],T);Tf_:=subs(dat,Tf);eq13_1;eq1:=Frac=Int(rhs(eq13_1),lambda=lambda[1]..lambda[2])/rhs(eq13_2);eq1_:=Frac=Re(evalf(subs(T=Tf_,A=A[P],B=B[P],dat,SI0,int(rhs(eq13_1),lambda=subs(dat,SI0,lambda1)..subs(dat,SI0,lambda2))/rhs(eq13_2))));Qir:=Q*Frac;Qir_:=subs(eq1_,dat,Q*Frac);Tvidrio1:=solve(subs(Q=Qir,eq1_,epsilon=1,A=Pi*Db^2,T[0]=T0,dat,SI0,eq11_3),T)[1]*K_;'Tvidrio1'=TKC(%);

i.e. el 93% de la potencia emitida por el filamento es en el IR (el 7% visible se transmite transparentemente), por lo que el bulbo alcanzaría 350 ºC y no 360 ºC; pero tampoco es válido este modelo.

c) Temperatura del bulbo, tomando una emisividad para el vidrio =0.9.

>	Tvidrio2:=solve(subs(Q=Qir,eq1_,epsilon=0.9,A=Pi*Db^2,T[0]=T0,dat,SI0,eq11_3),T)[1]*K_;'Tvidrio2'=TKC(%);

i.e., si no emite idealmente sino con epsilon=0,9, todavía se pondría más caliente, a 367 ºC.

d)Temperatura del bulbo, suponiendo =0.9 y un coeficiente convectivo exterior hext=20 W/(m2.K)..

Teniendo en cuenta la convección:

>	eq2:=subs(Q=Qrad,A=Pi*Db^2,T[0]=T0,eq11_3);eq3:=Qconv=h0*Pi*Db^2*(T0-T);eq4:=Qrad+Qconv=Qir;sol1_:=subs(dat,solve(subs(dat,eq1_,{eq2,eq3,eq4}),{Qrad,Qconv,T})[1]);Tvidrio3_:=subs(sol1_,T);Tvidrio3=TKC(%);

i.e. el vidrio quedaría a 250 ºC si radia y además convecta (cede calor al aire por contacto). Este resultado se acerca más a la realidad, donde la temperatura media del bulbo es de unos 160 ºC..170 ºC (máxima en la parte de arriba). No se ha tenido en cuenta la transmisión de calor por el casquillo, que suele ser hasta un 20% del total, ni la transmitancia del vidrio en el infrarrojo cercano.

e) Temperatura  del gas, sabiendo que las presiones inicial y final son pfin=150 kPa y pini=90 kPa.

>	Tgas:=p[fin]/p[ini]*T0;Tgas_:=subs(dat,Tgas);'Tgas'=TKC(%);

i.e. la variación de presión del gas encerrado (nitrógeno, para que no reaccione con el filamento incandescente), indica que el gas se calienta desde 15 ºC hasta 207 ºC (el vidrio estará algo más frío porque el aire exterior está más frío).

f) Transporte convectivo interior suponiendo hint=20 W/(m2.K),

>	eq5:=Qconv_int='h1*Pi*Db^2*(Tgas-Tvidrio)';eq5_:=subs(dat,evalf(subs(Tvidrio=Tvidrio3_,dat,eq5)));

i.e. de los 100 W que se disipan por efecto Joule en el filamento, 10 W son transmitidos por convección a través del gas encerrado, y los 90 W restantes por radiación (de ellos, unos 6 W en la banda visible, que pasa a través del vidrio, y los otros 84 W en la infrarroja, que hemos considerado que absorbe totalmente el vidrio). Visto desde fuera, de los 84+10=94 W que absorbe el vidrio (los otros 6 W pasan libremente), el aire se lleva por convección 54 W, y los 94-54=40 W restantes son emitidos (en neto, teniendo en cuenta el entorno) por radiación IR. Esto es ya bastante aproximado a la realidad, si no tenemos en cuenta que de los 100 W pueden irse 15..20 W por conducción a través del casquillo.

g)Tamaño que ha de tener una bombilla halógena para que la temperatura del bulbo sea >300 ºC (para que no se deposite el halógeno).

Suponiendo misma Tf (y por tanto misma Frac), aunque la gran ventaja de las halógenas es poder trabajar a mayor temperatura (y por tanto dar una mayor fracción visible). Despreciando la convección interior:

>	eqBEbulb:=-Frac*Q+Qconv_ext+QradIR=0;eq6:=subs(Q=QradIR,T[0]=T0,T=T[h],A=Pi*D^2,eq11_3);eq7:=Qconv_ext=h0*Pi*D^2*(T0-T[h]);sol2_:=fsolve(subs(eq1_,dat,SI0,{eqBEbulb,eq6,eq7}),{QradIR,Qconv_ext,D},D=0..0.1);D=subs(%,D)*m_;

i.e. el bulbo ha de ser menor de 5 cm (y de un 'vidrio' que no se ablande a 300 ºC, pyrex o cuarzo fundido). Si se tiene en cuenta la mayor eficiencia luminosa y otros efectos como la mayor transparencia del cuarzo respecto al vidrio en el UV y el IR cercano, se comprende que las lámparas halógenas puedan ser bastante más pequeñas (aunque al reducirse la longitud del filamento no podrá tener tanta resistencia eléctrica, y habrá que alimentarlo a bajo voltaje, ya que Q=V^2/R).

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