>	restart:#"m11_p96"

Se desea enfriar un equipo de 90·45·40 mm3 que debe disipar 50 W y no debe sobrepasar Tmax=80 ºC en su superficie, estando alojado en un satélite geoestacionario. Se supondrá que la disipación es uniforme en todo el volumen del equipo, cuyas propiedades medias son =3000 kg/m3, c=1000 J/(kg·K), y k=100 W/(m·K). Se pide:
a) Pérdida de calor por radiación por las paredes del equipo en un recinto a Tr=25 ºC si su temperatura superficial es Tmax. Determinar el coeficiente convectivo equivalente.
b) Estimar el tiempo que se tardaría en alcanzar Tmax a partir de un estado inicial a Tr.
c) Mapa de temperaturas esperado en el equipo, en régimen estacionario, suponiendo despreciables las pérdidas por todas las paredes menos por una de las bases.
d) Se piensa montarlo centrado sobre un radiador que es una placa cuadrada de aluminio A6061 de 3 mm de espesor, aislada térmicamente del interior del satélite, y expuesta al vacío exterior por la otra cara, que está pintada de blanco. ¿Qué tamaño de placa haría falta si fuese isoterma?
e) ¿Y si le diese el sol de frente? ¿Qué tamaño de radiador haría falta, y qué pasaría cuando no le diese el sol?
f) Se va a tratar de usar como radiador una placa de 0,2 m de ancha (en vez de cuadrada), y se desea saber la longitud necesaria (sin sol). Establecer un modelo unidimensional de la trasmisión de calor a lo largo de la parte de placa que sobresale por cada lado, y resolver el problema analíticamente, linealizado las pérdidas radiativas.
g) Resolver numéricamente (sin linealizar) el problema 1D anterior. Resolver el problema no estacionario de la aleta partiendo de un estado inicial a Tr e imponiendo un incremento lineal de la temperatura en la raíz según el apartado b).
h) Resolver el problema 2D con una placa de 0,2·0,2 m2.
Datos:

>	read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):with(plots):interface(displayprecision=2);

>

su1:="H2O":dat:=[Wdis=50*W_,Tmax=(80+273.15)*K_,Tinf=2.7*K_,T0=(25+273.15)*K_,LzE=0.09*m_,LxE=0.045*m_,LyE=0.04*m_,LyAP=0.003*m_,LzAP=0.2*m_,E=1361*W_/m_^2,alpha=0.2,epsilon=0.85];dat:=op(dat),Const,SI2,SI1:Wdat:=get_liq_data(su1);Edat:=k=100*W_/(m_*K_),rho=3000*kg_/m_^3,c=1000*J_/(kg_*K_);A6dat:=k=180*W_/(m_*K_),rho=2710*kg_/m_^3,c=960*J_/(kg_*K_);A5dat:=k=140*W_/(m_*K_),rho=2680*kg_/m_^3,c=920*J_/(kg_*K_);Tf:=273.15:

a) Pérdida de calor por radiación por las paredes del equipo en un recinto a Tr=25 ºC si su temperatura superficial es Tmax. Determinar el coeficiente convectivo equivalente.
El máximo será para superficies negras, incluyendo equipo y placa.

>	Qp:=Ap*sigma*(Tmax^4-T0^4);Ap:=2*(LxE*LzE+LzE*LyE+LxE*LyE);Ap_:=subs(dat,Ap);Qp_:=subs(dat,Qp);'Qp=Ap*he*(Tmax-Tinf)';he_:=subs(dat,Qp_/(Ap_*(Tmax-T0)));her:=4*epsilon*sigma*Tm^3;Tm_:=evalf(subs(dat,SI0,(he_/(4*epsilon*sigma))^(1/3)))*K_;'Tm_'=TKC(%);

	(1)

i.e. si todo el exterior del equipo estuviese a 80 ºC en un entorno a 25 ºC, se perderían 8,2 W por radiación, y el coeficiente convectivo equivalente al intercambio radiativo linealizado es he=7,9 W/(m2·K)., al que corresponde una Tmedia de 71 ºC, más próxima a Tmax=80 ºC que a Tr=25 ºC. A esto habría que añadir las pérdidas por conducción en los apoyos (y si no hubiera vacío las pérdidas por convección al fluido que lo rodeara).

b) Estimar el tiempo que se tardaría en alcanzar Tmax a partir de un estado inicial a Tr.
Una primera estimación sería suponer que el equipo se calienta uniformemente y todas sus paredes están aisladas, hasta alcanzar la Tmax.

>	eqBE0:=m*c*Diff(T,t)=Wdis;eqTB:=T(t)=T0+Wdis*t/(rho*V*c);tmin:=(Tmax-T0)*rho[E]*V[E]*c[E]/Wdis;V[E]:=LxE*LyE*LzE;mE_:=subs(Edat,dat,rho*%);tmin_:=subs(rho[E]=rho,c[E]=c,Edat,dat,tmin);

	(2)

i.e. si estubiera aislado por fuera, pasaría de 25 ºC a 80 ºC en 530 s (9 min). Si se contabilizan las pérdidas radiativas, pero linealizadas, el resultado sería algo mayor. La evolución de la T_Equipo sería prácticamente lineal en ambos casos:

>	eqT:=dsolve([mc*diff(T(t),t)=Wdis-hA*(T(t)-T0),T(0)=T0],T(t));plot(subs(t=t_s,mc=mE_*c,hA=he_*Ap_,Edat,dat,SI0,[rhs(%)-Tf,T0+Wdis*t/mc-Tf]),t_s=0..600,T_C=25..80);tmin__:=evalf(subs(mc=mE_*c,hA=he_*Ap_,Edat,dat,SI0,solve(Tmax=rhs(eqT),t)))*s_;

	(3)

i.e. si estubiera aislado por fuera, pasaría de 25 ºC a 80 ºC en 530 s (xasi 9 min), y con las pérdidas radiativas 580 s (casi 10 min).

c) Mapa de temperaturas esperado en el equipo, en régimen estacionario, suponiendo despreciables las pérdidas por todas las paredes menos por una de las bases.
Se trata de un problema 1D que admite solución analítica. El problema es similar al de una varilla de longitud L=LyE=0,04 m con una disipación de energía uniforme de valor total 100 W, con un extremo a 70 ºC térmicamente aislado (hemos despreciado las pérdidas radiativas) y el otro extremo a una temperatura T tal que fluya por ahí todo el calor. Sea Ac el área de la cara por donde sale el calor. Tomando el origen en el extremo aislado:

>

eqHeat:=0=k*Diff(T,x,x)+phi;eq0:=T(x=0)=T0;eq0p:=k*As*Diff(T,x)[x=0]=0;eqL:=T(x=L)=TL;eqLp:=k*As*Diff(T,x)[x=L]=-Wdis;eqT:=T(x)=T0-Q*x^2/(2*k*L*A);L=LyE;L_:=subs(dat,LyE);k=kE;k=subs(Edat,k);Ac:=LxE*LzE;Ac_:=subs(dat,Ac);'Ac_'=%*1e4*cm_^2/m_^2;Q=Wdis;eqT_:=T(x)=subs(Edat,dat,Tmax-Wdis*x^2/(2*k*L_*Ac_));eqTL:=T[x=L]=subs(x=L_,rhs(%));Tc_:=rhs(%);'Tc_'=TKC(%);plot(subs(x=x_m,SI0,rhs(eqT_)-Tf),x_m=0..L_/m_,T_C=75..80);

i.e. la grans conductividad interior hace que el equipo sea casi isotermo. Para que la temperatura en la cara más caliente no supere los 80 ºC, la cara fría ha de estar como máximo a Tc=77,5 ºC. El estado transitorio T(x,t) se resolvería numéricamente  

d) Se piensa montarlo centrado sobre una placa cuadrada de aluminio A6061 de 3 mm de espesor, aislada térmicamente del interior del satélite, y expuesta al vacío por la otra cara, que está pintada de blanco. ¿Qué tamaño de placa haría falta si fuese isoterma?
Si toda la placa estuviese a la temperatura anterior:

>	eqBE:=Qin=Qout;eqBE:=Wdis=epsilon*A*sigma*(Tc^4-Tinf^4);Tc=Tc_;A_:=subs(Tc=Tc_,dat,solve(eqBE,A));Lsquare_:=subs(SI0,sqrt(%))*m_;mAP:=subs(A6dat,dat,rho*LyAP*Lsquare_^2);

	(4)

i.e. se necesitaría una placa de 0,26 m de lado estando a 77,5 ºC para evacuar los 50 W. La masa de la placa sería de 0,56 kg. El espesor no ha intervenido en el cálculo, así que podría hacerse más delgada.

e) ¿Y si le diese el sol de frente? ¿Qué tamaño de radiador haría falta, y qué pasaría cuando no le diese el sol?
Tomando valores típicos para la irradiancia solar y para la absortancia solar, el balance energético da:

>	eqBE:=Qin=Qout;eqBE:=Wdis+alpha*E*A=epsilon*A*sigma*(Tc^4-Tinf^4);Tc=Tc_;A__:=subs(Tc=Tc_,dat,solve(eqBE,A));Lsquare__:=subs(SI0,sqrt(%))*m_;mAP:=subs(A6dat,dat,rho*LyAP*Lsquare__^2);eqBE_:=subs(E=0,eqBE);Tc__:=(subs(A=A__,dat,SI0,solve(%,Tc^4)))^(1/4)*K_;'Tc__'=TKC(%);

Warning, solving for expressions other than names or functions is not recommended.
	(5)