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Se desea saber la temperatura que alcanzará un hilo conductor eléctrico de 2 mm de diámetro, de aluminio de resistividad eléctrica 0,03 •mm2/m, por el que ha de circular una corriente eléctrica de 10 A, en los casos siguientes (se tomará una temperatura ambiente de 15 ºC y un coeficiente convectivo de 10 W/(m2•K) en todos los casos):
a) Hilo expuesto al aire.
b) Hilo con funda de aislante de 2 mm de espesor y k=0,2 W/(m•K).
c) Hacer un esquema de la dependencia con el espesor de aislante de las temperaturas en sus interfaces.
d) Estimar el tiempo que tardaría en enfriarse el hilo, una vez cortada la corriente, en ambos casos.

Datos:

>	read`../therm_eq.m`:read`../therm_const.m`:read`../therm_proc.m`:with(therm_proc):assume(n,integer,N,integer,L>0):

>	su1:="Aluminio_anodizado":su2:="Aire":dat:=[D=0.002*m_,re=0.03e-6*Ohm_*m_,Ie=10*A_,Tinf=(15+273.15)*K_,h=10*W_/(m_^2*K_),DR=0.002*m_,k=0.2*W_/(m_*K_)];

Eqs. const.:

>	dat:=op(dat),Const,SI2,SI1:Sdat:=get_sol_data(su1):Adat:=get_gas_data(su2):eqA:=A_=W_/V_;eqA:=A_=sqrt(W_/Ohm_);

a) Hilo expuesto al aire.

El conductor piede suponerse isotermo por su gran conductividad térmica.

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eqBE:=Wele=Qconv;eqBE:=Ie^2*R=h*Pi*D*L*(T-Tinf);eqR:=R=rho[ele]*L/A;eqR:=R/L=re/(Pi*D^2/4);eqR_:=evalf(subs(dat,%));eqQ:=Qdot/L=Ie^2*R/L;eqQ_:=subs(R=solve(eqR,R),eqQ);eqQ__:=subs(eqA,evalf(subs(eqA,dat,%)));eqBE_:=Qdot/L=rhs(eqBE)/L;T_:=expand(solve(subs(eqQ_,R=solve(eqR_,R),%),T));T__:=evalf(subs(dat,eqA,dat,%));T=TKC(%);

i.e. el hilo ha de disipar 0,96 W/m y para ello debe alcanzar 30 ºC en aire a 15 ºC.

b) Hilo con funda de aislante de 2 mm de espesor y k=0,2 W/(m•K).

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eq11_7_2;eqQ1:=Qdot/L=subs(DT=T1-T2,R[1]=D/2,R[2]=D/2+DR,rhs(eq11_7_2[1]))/L;eqQ2:=Qdot/L=subs(T=T2,D=D+2*DR,rhs(eqBE_));sol12:=collect(expand(solve({eqQ1,eqQ2},{T1,T2})),{Qdot,Tinf});sol12_:=subs(Qdot=solve(eqQ__,Qdot),eqA,dat,evalf(subs(eqA,dat,%)));T1=TKC(subs(sol12_,T1));T2=TKC(subs(sol12_,T2));

i.e., con el aislante, la temperatura del hilo baja de 30 ºC a 21 ºC; puede parecer sorprendente que aislando el foco caliente éste se enfríe, pero es porque aumenta mucho el área bañada por el fluido.

c) Hacer un esquema de la dependencia con el espesor de aislante de las temperaturas en sus interfaces.

Es de esperar que la temperatura exterior disminuya monótonamente con el espesor, porque el área de contacto con el aire aumenta y el flujo tottal es constante. La Tinterior puede que presente un mínimo. Veamos:

>	eqT2:=T2=Tinf+(Ie^2*re/(2*Pi^2*R1^2))*(1/(R2*h));eqT1:=T1=subs(eqT2,T2)+(Ie^2*re/(2*Pi^2*R1^2))*ln(R2/R1)/k;R2min:=solve(diff(rhs(eqT1),R2)=0,R2);

efectivamente, la temperatura interior presenta un mínimo para 19 mm de espesor. Nótese que éste radio mínimo coincide con el concepto más tradicional de radio crítico, que es el que corresponde a un espesor de aislante que maximice el calor evacuado para una temperatura interior dada.

>	T2_:=(subs(sol12,Qdot=solve(eqQ_,Qdot),T2)):T2__:=evalf(subs(eqA,dat,SI0,subs(DR=DR_,eqA,dat,%))):T1_:=expand(subs(sol12,Qdot=solve(eqQ_,Qdot),T1)):T1__:=evalf(subs(eqA,dat,SI0,subs(DR=DR_,eqA,dat,%))):T1_DR:=expand(diff(T1__,DR_)):DRmin:=fsolve(%=0,DR_)*m_;plot([T1__,T2__],DR_=0..0.1,288..303);

d) Estimar el tiempo que tardaría en enfriarse el hilo, una vez cortada la corriente, en ambos casos.

El tiempo de relajación lo obtendremos por comparación entre la capacidad térmica total y el flujo de calor inicial.

Sin aislante.

>	eqBE:=dH/dt=Qdot;eqBE:=rho*(Pi*D^2/4)*c*dT/dt=Qdot/L;dT_dt_:=solve(%,dT)/dt;dT_dt__:=evalf(subs(Qdot=solve(eqQ__,Qdot),Sdat,dat,%));tr:=DT/Diff(T,t);tr_:=subs(dat,(T__-Tinf)/dT_dt__);

i.e. unos 2 minutos. También podríamos haber aplicado directamente la relación que se deduce del análisis de órdendes de magnitud en el balance energético:

>	eqtr_conv:=tr=rho*c*Lc/h;Lc:=A/p=(Pi*D^2/4)/(2*Pi*D);tr:=rho*c*(D/4)/h;tr_:=subs(Sdat,dat,%);

Para el hilo enfundado, tomando unos valores típicos de densidad y capacidad térmica del aislante, y una temperatura común para ambos (hemos visto que no varíaba mucho de un lado al otro del aislante):

>

eqBE:=dH/dt=Qdot;eqBE:=(rho[hilo]*(Pi*D^2/4)*c[hilo]+rho[ais]*(Pi*((D+2*DR)^2-D^2)/4)*c[ais])*dT/dt=Qdot/L;dT_dt_:=solve(%,dT)/dt;dT_dt__:=evalf(subs(Qdot=solve(eqQ__,Qdot),rho[hilo]=rho,c[hilo]=c,rho[ais]=1000*kg_/m_^3,c[ais]=1000*J_/(kg_*K_),Sdat,dat,%));tr:=DT/Diff(T,t);tr_:=subs(dat,(T__-Tinf)/dT_dt__);

i.e. unos 9 minutos, tal vez entre 5 y 15 minutos, dependiendo del tipo de aislante.

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