>	restart:#"m11p44"

En una esfera de 17 cm de diámetro hay una disipación volumétrica uniforme de energía de 26 W en total. La esfera está contenida en una funda de 4 mm de espesor y 1,2 W/(m·K) de conductividad. Suponiendo que el coeficiente convectivo con el aire exterior, que está a 15 ºC, es de 15 W/(m2·K), y que la esfera interior tiene 0,5 W/(m·K) de conductividad, se pide:
a) Hacer un esquema del perfil de temperaturas esperado en el régimen estacionario.
b) Plantear el problema para poder determinar los valores de las temperaturas.
a) Temperatura de la cara más externa.
b) Temperatura de la cara intermedia.
c) Temperatura en el centro.
Datos:

>	read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):assume(xL>0):

>	dat:=[D=0.17*m_,DR=4*1e-3*m_,Phi=26*W_,k1=1.2*W_/(m_*K_),k0=0.5*W_/(m_*K_),h=20*W_/(m_^2*K_),Tinf=(15+273)*K_];

Esquema:

>

Eqs. const.:

>	dat:=op(dat),Const,SI2,SI1:

a) Hacer un esquema del perfil de temperaturas esperado en el régimen estacionario.

b) Plantear el problema para poder determinar los valores de las temperaturas.

Debido a la discontinuidad, lo hacemos en dos tramos: 0<r<R0 y R0<r<R1.

>	eq0:=0=k*(1/r^2)*Diff(r^2*Diff(T(r),r),r)+phi;eqBC0:=Diff(T(r),r)[0]=0;eqBC0_:=-k*Pi*D^2*Diff(T(r),r)[R0]=Phi;eq1:=0=k*(1/r^2)*Diff(r^2*Diff(T(r),r),r);eqBC1:=-k*Pi*D^2*Diff(T(r),r)[R0]=Phi;eqBC1_:=-k*Pi*(D+2*DR)^2*Diff(T(r),r)[R1]=Phi;eqBE:=Phi=h*Pi*(D+2*DR)^2*(T[R1]-Tinf);

a) Temperatura de la cara más externa.

>	eqBE:=T1=Tinf+Phi/(h*Pi*(D+2*DR)^2);eqBE_:=evalf(subs(dat,eqBE)):%;T1=TKC(rhs(%));

b) Temperatura de la cara intermedia.

>	sol1:=dsolve({value(eq1)},T(r));sol1:=dsolve({value(eq1),D(T)(D/2)=-Phi/(k*Pi*D^2),T(D/2+DR)=T1},T(r));T0:=subs(r=D/2,rhs(sol1));T0_:=subs(dat,evalf(subs(eqBE_,k=k1,dat,T0)));'T0'=TKC(T0_);

c) Temperatura en el centro.

>	sol0:=dsolve({value(eq0)},T(r));sol0:=dsolve({value(eq0),D(T)(0)=0,T(D/2)=T0},T(r));Tc:=subs(r=0,phi=Phi/(Pi*D^3/6),rhs(sol0));Tc_:=evalf(subs(eqBE_,k=k0,dat,Tc));'Tc_'=TKC(Tc_);

En resumen, las temperaturas, de dentro a afuera, son 54 ºC, 29 ºC, 28 ºC y 15 ºC.

Este modelo se ha extraído de una referencia sobre un modelo térmico de la cabeza humana. Obviamente, este modelo conductivo no es aceptable, pues se sabe que la temperatura interior del cráneo es de 37 ºC. La explicación es que la perfusión de la sangre dentro del tejiddo encefálico incrementa mucho la transmitancia térmica (como en un proceso convectivo).

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