>	restart:#"m11_p41"

Un circuito integrado en una pastilla de silicio de 50×50×5 mm3 (antiguo modelo de procesador Pentium) ha de disipar hasta 30 W sin que su temperatura supere los 75 ºC, para lo cual, se piensa instalar un ventilador en sus proximidades. Considérese una temperatura ambiente de 25 ºC, y un coeficiente convectivo   en función de la velocidad del aire, v, con h en W/(m2×K) si a=10, b=15 y v en m/s. Se pide:
a) Plantear el balance energético de la pastilla en régimen no estacionario y estacionario, determinando la temperatura que se alcanzaría sin ventilador y la velocidad necesaria para cumplir el requisito.
b) Estimar la diferencia de temperatura entre las caras mayores de la pastilla, suponiendo que la disipación tuviese lugar justo en una de ellas (modelo epitaxial).
c) Estimar la diferencia de temperatura entre las caras mayores y el centro de la pastilla, suponiendo que la disipación tuviese lugar uniformemente en todo el volumen (modelo volumétrico).

Datos:

>	read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):

>	su1:="Silicio":dat:=[L1=0.05*m_,L2=0.05*m_,L3=0.005*m_,P=30*W_,Tmax=(75+273)*K_,Tinf=(25+273)*K_,a=10,b=15,v0=1*m_/s_,h0=1*W_/(m_^2*K_)];eqh:=h=(a+b*sqrt(v/v0))*h0;

Fig. 1. a) Modelo simplificado usado aquí. b) Disposición más realista.

Eqs. const.:

>	sdat:=get_sol_data(su1):dat:=op(dat),sdat,Const,SI2,SI1:

a) Plantear el balance energético de la pastilla en régimen no estacionario y estacionario, determinando la temperatura que se alcanzaría sin ventilador y la velocidad necesaria para cumplir el requisito.

Se supone que el enfriamiento es por todas partes por igual (Fig. 1a), aunque en la realidad sería un montaje tal como el de la Fig. 1b.

>

eqBE:=rho*V*c*diff(T(t),t)=P-h*A*(T-Tinf);V:=L1*L2*L3;V_:=subs(dat,V);eqAtotal:=A=2*L1*L2+2*L1*L3+2*L2*L3;A_:=subs(eqAtotal,dat,A);eqBEest:=0=P-h*A*(T-Tinf);Test:=expand(solve(eqBEest,T));Test0_:=subs(eqAtotal,eqh,dat,v=0,Test);Tmax=subs(eqh,Test);vmin:=solve(subs(T=Tmax,eqh,eqBEest),v);vmin_:=subs(eqAtotal,dat,vmin);

Resulta un valor demasiado grande de la velocidad, y eso que se ha supuesto que actúa sobre el total de la superficie. Aunque en realidad la pastilla estará unida a una placa base que aumentará el área efectiva, habrá que poner aletas como se indica en la Fig. 1b. Veamos el valor de h.

>	hmin:=solve(Tmax=Test,h);hmin_:=subs(eqAtotal,dat,hmin);plot(subs(eqh,dat,SI0,h),v=0..25,h=0..100);

Efectivamente, resulta un valor de h muy grande para la convección en aire. Por eso se recurre a aletas para aumentar el área bañada por el aire.

b) Estimar la diferencia de temperatura entre las caras mayores de la pastilla, suponiendo que la disipación tuviese lugar justo en una de ellas (modelo epitaxial).

Como no será grande, prácticamente la mitad de la energa saldrá por cada lado, luego:

>	phi_sup:=P/(L1*L2);phi_sup_:=subs(dat,phi_sup);eqFourier:='k*DT/L3=phi_sup/2';DT_:=subs(dat,phi_sup_*L3/(2*k));

i.e. despreciable.

c) Estimar la diferencia de temperatura entre las caras mayores y el centro de la pastilla, suponiendo que la disipación tuviese lugar uniformemente en todo el volumen (modelo volumétrico).

>	eq11_8_1;DT:=phi*L3^2/(4*k);phi:='P/V';phi_:=subs(dat,phi);DT_:=subs(dat,DT);

Como era de esperar, este valor es menor que el anterior por estar más distribuidas las fuentes.

El desarrollo de nuevos procesadores viene condicionado por el problema de la disipación térmica. Un Pentium 4 a 2 GHz en tecnología de 180 nm ya debe disipar 76 W sin sobrepasar los 75 ºC en un ambiente a 40 ºC. El sistema de enfriamiento normal es el de aletas y ventilador aquí expuesto, con velocidades medias del aire de unos 4 m/s, lo que causa bastante ruido (el ventilador gira a 3000 rpm), por lo que en el futuro habrá que ir a disipadores más efectivos, del tipo 'heat pipe'.

NOTA. Pueden verse las siguientes ilustraciones accesorias: