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El núcleo de un reactor nuclear consta de varillas cilíndricas de óxido de uranio de conductividad térmica k=2 W.m1.K1 y 1 cm de diámetro, que liberan 108 W.m3 de energía nuclear, encapsuladas en una vaina cerámica de 2 mm de espesor y k=20 W.m1.K1. El coeficiente de convección forzada con el agua es de 5 kW.m2.K1. Determinar el perfil radial de temperatura en la varilla.

Datos:

> read`../therm_eq.m`:read`../therm_const.m`:read`../therm_proc.m`:with(therm_proc):

> dat:=[k[1]=2*W_/(m_*K_),R[1]=0.005*m_,phi=1e8*W_/m_^3,R[2]=(.005+.002)*m_,k[2]=20*W_/(m_*K_),h=5000*W_/(m_^2*K_),Tinf=400*K_];

> dat:=op(dat),Const,SI1,SI2:

a) Determinar el perfil radial de temperatura en la varilla.

El problema es lineal en la temperatura del agua, así que, como no dicen nada, supondremos un valor típico de funcionamiento, del orden de 400 K.

> eqBE:=Q=Pi*R[1]^2*L*phi;eq11_6_20;dsol1:=dsolve(eq11_6_20,T(r));eq11_1;eval(subs(x=r,dsol1,%));

En el interior de la varilla:

> dsol01:=subs(k=k[1],expand(dsolve({eq11_6_20,D(T)(0)=0,T(R[1])=T1},T(r))));Q1:=-k[1]*A1*Diff(T(r),r)[R[1]];Q1_:=subs(A1=2*Pi*r*L,r=R[1],eval(subs(dsol01,-k[1]*A1*diff(T(r),r))));

En el interior de la funda de la varilla:

> dsol12:=subs(k=k[2],dsolve({subs(phi=0,eq11_6_20),T(R[1])=T1,T(R[2])=T2},T(r)));Q2:=-k[2]*A2*Diff(T(r),r)[R[2]];Q2_:=subs(A2=2*Pi*r*L,r=R[2],eval(subs(dsol12,-k[2]*A2*diff(T(r),r))));

De los balances energéticos en las entrefases:

> eq1:='Q1=Q2';eq2:='Q2=h*A2*(T2-Tinf)';eq12:='Q1=h*A2*(T2-Tinf)';T2:=expand(solve(Q1_=h*2*Pi*R[2]*L*(T2-Tinf),T2));T2_:=subs(dat,%);T1:=collect(expand(solve(Q2_=Q1_,T1)),{R[1],k[2],phi});T1_:=simplify(subs(dat,evalf(subs(dat,%))));T0:=subs(dsol01,r=0,T(r));T0_:=simplify(subs(dat,evalf(subs(dat,%))));DT0inf:=subs(dat,T0_-Tinf);DT1inf:=subs(dat,T1_-Tinf);DT2inf:=subs(dat,T2_-Tinf);

i.e., el centro se calienta 370 ºC por encima del agua, la entrefase varilla-vaina 57 ºC por encima del agua, y la superficie externa 36 ºC por encima del agua.

> T_1:=evalf(subs(dsol01,dat,SI0,T(r)));T_2:=evalf(subs(dsol12,dat,SI0,T(r)));T_3:=evalf(subs(dat,SI0,Tinf+(T2_-Tinf)*exp(-1e2*(r-R[2]))));plot({[r,T_1,r=0..0.005],[r,T_2,r=0.005..0.007],[r,T_3,r=0.007..0.01],[[0.005,0],[0.005,1000]],[[0.007,0],[0.007,1000]],[[0,subs(dat,Tinf/K_)],[0.01,subs(dat,Tinf/K_)]]},r=0..0.01,T=0..800,color=black);

Plot_2d