>	restart:#"m08_p56"

En un recipiente rígido y adiabático de 0,1 m3 hay inicialmente 10 kg de agua en equilibrio con una mezcla de vapor y aire a 120 ºC y 400 kPa. A partir de un cierto instante se abre una válvula en el fondo del recipiente y se eliminan rápidamente 5 kg de agua. Se pide:
a) Cantidades de sustancias iniciales.
b) Determinar el estado final si, antes del escape, se hubiera dejado atemperar el recipiente hasta 20 ºC.
c) Si el proceso es el del escape rápido, determinar el estado inmediatamente después del escape, suponiendo que no hay condensación.
d) Evaluar si hay condensación, y su cuantía.
Datos:

>	read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):

>	su1:="Aire":su2:="H2O":dat:=[V=0.1*m_^3,mL1=10*kg_,T1=(120+273)*K_,p1=400e3*Pa_,T0=(20+273)*K_,DmL=5*kg_];

Esquema:

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Eqs. const.:

>	Adat:=get_gas_data(su1):Adat:=subs(c[p]=c[pa],R=R[a],M=M[a],T[b]=nada,[Adat]):Wgdat:=get_gas_data(su2):Wgdat:=subs(c[p]=c[pv],R=R[v],M=M[v],[Wgdat]):Wldat:=get_liq_data(su2):Wdat:=op(Wgdat),Wldat:get_pv_data(su2):dat:=op(dat),Const,SI2,SI1:

a) Cantidades de sustancias iniciales.

Sea VL1 el volumen de líquido inicial (usaremos el modelo de líquido perfecto pese a que a 120 ºC la densidad del agua ya no es 1000 kg/m3 sino 940 kg/m3).

Por estar en equilibrio bifásico, será xv=pv(T)/p.

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VL1:=mL1/rho;VL1_:=subs(dat,Wdat,%);xv1:='pv(T1)/p1';xv1_:=evalf(subs(dat,%));p*V=n*R[u]*T;n1:='p1*(V-VL1)/(R[u]*T1)';n1_:=subs(Wdat,dat,%);nv1='xv1*n1';nv1_:=evalf(subs(Wdat,dat,xv1*n1));na:='n1-nv1';na_:=n1_-nv1_;nL1:=mL1/M[v];nL1_:=subs(Wdat,dat,%);mL1=subs(dat,mL1);mv1_:=subs(Wdat,nv1_*M[v]);ma_:=subs(Adat,na_*M[a]);

i.e. inicialmente hay 10 kg de agua líquida, ocupando unos 10 litros, y en los otros 90 litros hay 11 moles de gas: 5,4 mol de H2O y 5,6 de aire.

b) Determinar el estado final si, antes del escape, se hubiera dejado atemperar el recipiente hasta 20 ºC.

T2=T0. Al enfriarse perderá presión y se vaporizará algo de agua, pero el volumen de gas apenas cambiará. Como siempre, despreciamos los efectos de solubilidad del aire en el agua.

>	eqET:='p2*(V-VL1)=(na+nv2)*R[u]*T0';eqEB:='nv2/(na+nv2)=pv(T0)/p2';sol_:=subs(dat,solve(evalf(subs(Wdat,dat,{eqEB,eqET})),{p2,nv2}));DVL:=(nv1-nv2)*M[v]/rho;DVL_:=evalf(subs(nv1=nv1_,sol_,Wdat,dat,%));

i.e. la presión bajaría de 400 kPa a 153 kPa al enfriarse de 120 ºC a 15 ºC y condensar casi todo el vapor (aunque eso sólo hace que aumente en 96 cm3 el volumen de líquido).

c) Si el proceso es el del escape rápido, determinar el estado inmediatamente después del escape, suponiendo que no hay condensación.

Se trataría de una expansión isoentrópica de un gas perfecto desde 90 L hasta 95 L.

Tomando un coeficiente isoentrópico medio:

>	eq12:=p1*V1^gamma=cte;gamma=x[a]*gamma[a]+x[v]*gamma[v];ga_:=xv1_*subs(Wdat,gamma)+(1-xv1_)*subs(Adat,gamma);p2_:=subs(Wdat,dat,p1*((V-mL1/rho)/(V-mL1/rho+DmL/rho))^ga_);T2=T1*(V1/V2)^(gamma-1);T2_:=subs(Wdat,dat,T1*((V-mL1/rho)/(V-mL1/rho+DmL/rho))^(ga_-1));

i.e. la expansión súbita de esa mezcla gaseosa, si no condensara, bajaría la presión de 400 kPa a 371 kPa, y la temperatura de 120 ºC a 112 ºC,

d) Evaluar si hay condensación, y su cuantía

>	eqEB:='nv2/(na+nv2)=pv(T2)/p2';nv2_:=subs(dat,evalf(subs(p2=p2_,T2=T2_,nv1=nv1_,dat,Wdat,solve(eqEB,nv2))));xv2_:=nv2_/(nv2_+na_);

i.e., vemos que en esas condiciones la fase gaseosa sólo admite 3,95 mol de H2O y tenemos 5,42 mol de vapor, luego, condensará un poco, pero no tanto como se deduce con este modelo (que ya no es válido para eso).

Como al condensar se libera energía térmica, la temperatura final será algo mayor, la presión también, y el gas admitirá más vapor en el equilibrio, por lo que condensará bastante menos de 5,42-3,95=1,47 mol. Para cuantificar mejor lo que condensa, analicemos las ecuaciones e incógnitas.

Tomo como incógnitas:

nv2, la cantidad de vapor final.

nl2, la cantidad de líquido que condensa

T2, la temperatura final.

p2, la presión final.

Las ecuaciones son:

Balance másico de agua (el aire no varía).

Ecuación de estado de la fase gaseosa.

Balance energético de la masa de control (no hay calor, pero sale trabajo).

Condición de equilibrio bifásico (de la masa contenida en los 95 L finales).

No añado el balance de entropía porque ya lo impongo en el balance energético al poner que Q=0 y W=Int(-pdV).

También podría sustituir el BE por el BS y luego calcular el W con el BE.

Las ecuaciones que gobiernan el proceso de escape son los balances másicos y energético (el mecánico nos daría la fuerza en los apoyos, el exergético la pérdida de exergía, etc.), y el equilibrio interno.

Como la presión es superior a la de vapor, al abrir la válvula sólo sale líquido (porque éste no puede hervir con aire encerrado).

Vale el modelo de expansión isoentrópica de la masa líquida y la masa gaseosa por separado, porque no hay vaporización súbita (la presión no baja por debajo de la de equilibrio bifásico del agua pura a esa temperatura, 200 kPa).

La expansión súbita tiende a aumentar la humedad relativa, pero como inicialmente ya está saturado, condensará un poco de vapor, luego el estado inmediatamente después de la expansión súbita es sobresaturado, que en equilibrio será bifásico (aunque podría permanecer en equilibrio metastable monofásico si la nucleación no fuese muy efectiva).

Como la evaporación será despreciable para tiempos cortos, consideramos el agua del fondo como un émbolo y sólo estudiamos el sistema de masa de control ma+mv1, que pasa isoentrópicamente de ocupar 90 L a ocupar 95 L.

>	eqBMa:=na2=na1;eqBMw:=nv1=nv2+nl2;eqBE:=DE=Q+W;DE:=DH-D(pV);DH:=na2*c[pa]*(T2-T[tr])+nv2*hv(T)+nl2*hl(T)-na1*c[pa]*(T1-T[tr])-nv1*hv(T);D(pV):=p2*V2-p1*V1;Q:=0;W:=-Int(p,V=V1..V2);eqET2:='p2*V2=(na+nv2)*R[u]*T2';eqEB:='nv2/(na+nv2)=pv(T2)/p2';

Aproximando la integral en el trabajo, -pdV, por -p1dV:

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eqBMw:=nv1_=nv2+nl2;eqET2:=subs(Wdat,dat,p2*(V-mL1/rho+DmL/rho)=(na_+nv2)*R[u]*T2);eqEB:=nv2/(na_+nv2)=pv(T2)/p2;eqBE:=subs(Adat,Wdat,dat,na_*c[pa]*M[a]*(T2-T1)+nv2*M[v]*subs(c[p]=c[pv],Wdat,T=T2,hv(T))+nl2*M[v]*subs(Wdat,T=T2,hl(T))-nv1_*M[v]*subs(c[p]=c[pv],Wdat,T=T1,dat,hv(T))-(p2*(V-mL1/rho+DmL/rho)-p1*(V-mL1/rho))=-p1*DmL/rho);sol_:=solve(subs(SI0,{eqBMw,eqET2,eqEB,eqBE}),{nv2,nl2,T2,p2}):sol:={p2=subs(sol_,p2)*Pa_,T2=subs(sol_,T2)*K_,nv2=subs(sol_,nv2)*mol_,nl2=subs(sol_,nl2)*mol_};

i.e. condensan 0,04 mol de agua.

Analizando los términos del balance energético:

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BEa:=subs(sol,Adat,dat,na_*M[a]*c[pa]*(T2-T1));BEvv:=subs(sol,Wdat,dat,nv2*M[v]*c[pv]*(T2-T[tr])-nv1_*M[v]*c[pv]*(T1-T[tr]));BEvl:=subs(sol,Wdat,dat,(nv2-nv1_)*M[v]*subs(c[p]=c[pv],Wdat,T=T2,hlv(T)));BEp:=subs(sol,Wdat,dat,-(p2*(V-mL1/rho+DmL/rho)-p1*(V-mL1/rho)));BEW:=subs(sol,Wdat,dat,-p1*DmL/rho);'BEa+BEvv+BEvl+BEp=BEW';eval(%);

se ve que el término preponderante, i.e. el que más energía da para realizar el trabajo de expansión, es el vapor que condensa; por eso condensa muchísimo menos de lo estimado al principio.

Puede comprobarse que la aproximación introducida para el trabajo no influye:

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subs(sol,Wdat,dat,-p1*DmL/rho);subs(sol,Wdat,dat,-p2*DmL/rho);eqBE:=subs(Adat,Wdat,dat,na_*c[pa]*M[a]*(T2-T1)+nv2*M[v]*subs(c[p]=c[pv],Wdat,T=T2,hv(T))+nl2*M[v]*subs(Wdat,T=T2,hl(T))-nv1_*M[v]*subs(c[p]=c[pv],Wdat,T=T1,dat,hv(T))-(p2*(V-mL1/rho+DmL/rho)-p1*(V-mL1/rho))=-p2*DmL/rho):sol_:=solve(subs(SI0,{eqBMw,eqET2,eqEB,eqBE}),{nv2,nl2,T2,p2}):sol:={p2=subs(sol_,p2)*Pa_,T2=subs(sol_,T2)*K_,nv2=subs(sol_,nv2)*mol_,nl2=subs(sol_,nl2)*mol_};

i.e. condensa entre 0,037 y 0,040 moles de vapor de agua. No merece la pena afinar más.

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