>	restart;#"m4_p37"

Se trata de estudiar la dilatación longitudinal de dos varillas, una de ellas de aluminio y la otra compuesta de una parte de aluminio y otra de titanio según se indica en la figura. Las varillas sujetan un elemento sensor que debe trabajar a 150 K y un elemento electrónico preamplificador que estará a 200 K, apoyándose el conjunto en un soporte que estará a 300 K. En condiciones de laboratorio a T0=293 K ambas varillas miden L=0,100±5×10-6 m. Supóngase que los coeficientes de dilatación lineal pueden suponerse constantes y de valor a1=23×10-6 K-1 para el aluminio y a2=8,5×10-6 K-1 para el titanio. Se desea determinar, en función de la fracción de titanio, a:
a) Los perfiles de temperaturas en condiciones de trabajo, suponiendo despreciables las resistencias térmicas de contacto.
b) La dilatación lineal de cada varilla en las condiciones de trabajo, respecto al laboratorio.
c) La fracción a de titanio que consiga que el desplazamiento del sensor respecto al soporte sea menor de 10×10-6 m. Con esto se garantizaría que el ajuste fino de la distancia de enfoque entre la óptica (montada en el soporte) y el sensor (de imagen), realizado en condiciones de laboratorio, sea aplicable también a las condiciones de trabajo.

Datos:

>	read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):

>	su1:="Aluminio_anodizado":su2:="Titanio":dat:=[alpha[1]=23e-6/K_,alpha[2]=8.5e-6/K_,T0=300*K_,L=0.1*m_,T1=150*K_,T2=200*K_,T3=300*K_];

Esquema:

>

>

Eqs. constit.:

>	s1dat:=get_sol_data(su1):k_[1]:=subs(s1dat,k);s2dat:=get_sol_data(su2):k_[2]:=subs(s2dat,k);dat:=op(dat),k[1]=k_[1],k[2]=k_[2],Const,SI2,SI1:

a) Los perfiles de temperaturas en condiciones de trabajo, suponiendo despreciables las resistencias térmicas de contacto.

>

Talu:=T3-x*(T3-T2)/L;qalu:=k[1]*(T3-T2)/L;Taluti_ti:=T2-(x-L)*(T2-Ti)/(a*L);Taluti_al:=Ti-(x-L-a*L)*(Ti-T1)/((1-a)*L);eqBEi:=k[1]*(Ti-T1)/((1-a)*L)=k[2]*(T2-Ti)/(a*L);qaluti:=lhs(eqBEi);Ti_:=solve(eqBEi,Ti);Ti__:=subs(dat,SI0,Ti_);Talu_:=subs(dat,SI0,Talu);qalu_:=subs(dat,SI0,qalu):'qalu'=%*W_/m_^2;Taluti_ti_:=simplify(subs(Ti=Ti_,dat,SI0,Taluti_ti));Taluti_al_:=simplify(subs(Ti=Ti_,dat,SI0,Taluti_al));qaluti_:=simplify(subs(Ti=Ti_,dat,SI0,qaluti)):'qaluti'=evalf(%*W_/m_^2,6);

>	plot([subs(dat,SI0,T1),subs(dat,SI0,T2),subs(dat,SI0,T3),Ti__],a=0..1,T=0..300,color=black);

Si a=0,3

>	plot(subs(a=0.3,[subs(dat,SI0,T1),subs(dat,SI0,T2),subs(dat,SI0,T3),Ti__,Talu_,Taluti_ti_,Taluti_al_]),x=0..subs(dat,SI0,2*L),T=0..300,color=black);

b) La dilatación lineal de cada varilla en las condiciones de trabajo, respecto al laboratorio.

La variación de longitud, supuesta pequeña, es Int(alpha*(T-T0)*dx, que si es varilla isoterma es Dx_ y si su temperatura varía linealmente es Dx__:

>	Dx:=Int(alpha*(T-T0),x=0..L);Dx_:=collect(value(subs(T=Tiso,Dx)),{L,alpha});Dx__:=collect(value(subs(T=A+B*x,Dx)),{L,alpha});

Aluminio T=A+B*x=T3-x*(T3-T2)/L

>	Dx_alu:=subs(alpha=alpha[1],A=T3,B=-(T3-T2)/L,Dx__);Dx_alu_:=subs(dat,Dx_alu);

Aluti_ti T=A+B*x=T2-(x-L)*(T2-Ti1)/(a*L)

>	Dx_aluti_ti:=subs(L=a*L,alpha=alpha[2],A=T2,B=-(T2-Ti_)/(a*L),Dx__);

Aluminio T=A+B*x=Ti-(x-L-a*L)*(Ti-T1)/((1-a)*L)

>	Dx_aluti_al:=subs(L=(1-a)*L,alpha=alpha[1],A=Ti_,B=-(Ti_-T1)/((1-a)*L),Dx__);

>	Dx_aluti:='Dx_aluti_ti+Dx_aluti_al';Dx_aluti_:=simplify(subs(dat,Dx_aluti));a0_:=max(solve(Dx_alu_=Dx_aluti_,a)):'a0'=evalf(%,3);

>	plot({Dx_alu_/m_,Dx_aluti_/m_},a=0..1,dilat_m=-0.0003..0,color=black);

La solución es que teóricamente se cancelarían las dilataciones con a=96% de titanio, pero también cumple la especificación si se pone toda de titanio, ya que:

>	Dx_rel:='Dx_alu-Dx_aluti';Dx_rel1_:=subs(a=1,dat,Dx_alu_-Dx_aluti_):'Dx_rel1'=evalf(%,1);

OTRA manera más ingenieril de hacerlo.

1º se ve que si la T varía linealmente es equivalente a la Tmedia

>	Dx_exact:=collect(value(subs(T=T3-x*(T3-T2)/L,Dx)),{L,alpha});Dx_mean:=collect(value(subs(T=(T3+T2)/2,Dx)),{L,alpha});

2º se ve qué pasaría en los casos extremos de todo aluminio o todo titanio.

>

Dxalu32_:=value(subs(alpha=alpha[1],T=(T3+T2)/2,dat,Dx)):'Dxalu32'=evalf(%,2);Dxalu21_:=value(subs(alpha=alpha[1],T=(T1+T2)/2,dat,Dx)):'Dxalu21'=evalf(%,2);Dxti21_:=value(subs(alpha=alpha[2],T=(T1+T2)/2,dat,Dx)):'Dxti21'=evalf(%,2);Dx_alu_alu_:=Dxalu32_-Dxalu21_:'Dx_alu_alu'=evalf(%,2);Dx_alu_ti_:=Dxalu32_-Dxti21_;

luego si ambas son de Al el sensor bajaría 170 micrómetros (>10, no sirve) pero si la segunda es de Ti el sensor sólo baja 9<10 micrómetros y sí vale.

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