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Se dispone de un termómetro de alcohol con una masa total de 25 g, conteniendo 0,5 g de etanol, con graduaciones de 5 ºC cada centímetro desde -10 ºC hasta 110 ºC. Se pide
a) Indicar por qué conviene que el capilar de un termómetro de dilatación de líquido sea fino, y el tamaño más apropiado del bulbo. ¿Cómo es que puede medir un termómetro de alcohol más allá de su punto de ebullición?
b) Relacionar la sensibilidad del termómetro con la masa de alcohol y el diámetro del capilar, determinando éste.
c) Calcular la temperatura que alcanzaría ese termómetro al sumergirlo en una probeta con 100 cm3 de agua a 90 ºC.

Datos:

>	read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):

>	su:="C2H6O":su1:="H2O":su2:="Vidrio_crown":dat:=[mT=25e-3*kg_,mL=0.5e-3*kg_,DT_Dx=(5/0.01)*K_/m_,Vw=100e-6*m_^3,T1=(90+273)*K_,Tmin=(-10+273)*K_,Tmax=(110+273)*K_,alpha=1000e-6/K_];

Esquema:

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Ecs. const.:

>	dat:=op(dat),get_gas_data(su),get_liq_data(su),Const,SI2,SI1:get_pv_data(su):Sdat:=get_sol_data(su2):c[su2]=subs(Sdat,c);Wdat:=get_liq_data(su1):

a) Indicar por qué conviene que el capilar de un termómetro de dilatación de líquido sea fino, y el tamaño más apropiado del bulbo. ¿Cómo es que puede medir un termómetro de alcohol más allá de su punto de ebullición?

El capilar conviene que sea fino para que tenga más resolución y sensibilidad (menos grados por centímetro).

El bulbo conviene que sea pequeño para que no perturbe mucho la medida y se tarde poco, pero conviene que sea grande para aumentar la sensibilidad (menos grados por centímetro). En cualquier caso, el volumen del bulbo será mucho mayor que el volumen del capilar, para minimizar el efecto de la inmersión adecuada (i.e., para separar la parte 'sensor' de la parte 'indicador').

El líquido no hierve porque va presurizado con un gas inerte (la cavidad formada por el ensanchamiento del capilar en el extremo opuesto al bulbo, previene que la presión no aumente demasiado al dilatarse el líquido). La presión interior será como mínimo de 0,3 MPa:

>	pN2min:=p[v](Tmax);pN2min_:=subs(dat,evalf(subs(dat,pv(Tmax)))):'pN2min'=evalf(%,2);

b) Relacionar la sensibilidad del termómetro con la masa de alcohol y el diámetro del capilar, determinando éste.

Con el modelo de líquido dilatable linealmente, DV=V*alpha*DT, con alpha=cte.

Con la masa y la densidad, V=m/rho. Nótese que el volumen del capilar será despreciable frente al del bulbo.

Despreciando la dilatación del vidrio frente a la del líquido (los sólidos suelen dilatar 100 veces menos), DV=A*Dz, siendo A el área de la sección recta interior del capilar.

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eqET:=DV=V*alpha*DT;V:=mL/rho;eqET;eqDilat:=DV=A*Dx;eqRes:=DT/Dx=rho*A/(mL*alpha);subs(A=Pi*d^2/4,%);d_:=solve(%,d)[2];d__:=subs(DT=DT_Dx*Dx,dat,d_):'d'=evalf(%,2):'d'=evalf(subs(Dx=1,SI0,rhs(%))*1000,2)*mm_;Vbulb:=V;Vbulb_:=subs(dat,V):'Vbulb'=evalf(%,2);Vstem:=L*Pi*d^2/4;L:=(Tmax-Tmin)/DT_Dx;L_:=subs(A=Pi*d^2/4,dat,L):'L'=evalf(%,2);Vstem_:=subs(d=d__,dat,Vstem):'Vstem'=evalf(%,2);'Vstem/Vbulb'=evalf(Vstem_/Vbulb_,2);eq_ext:='Vvidrio=L*Pi*D^2/4';D_:='sqrt(4*mT/(rho*L*Pi))';D__:=subs(Sdat,dat,%):'D'=subs(SI0,evalf(%,2))*m_;

i.e., el capilar tiene 0,64 mm de diámetro (el diámetro exterior será algo menor de 7,6 mm), y se comprueba que su volumen total es sólo un 12% del de el bulbo.

Nótese que la sensibilidad aumenta (cuadráticamente) al disminuir el diámetro, y al aumentar el tamaño del bulbo (mL) o el coeficiente de dilatación.

c) Calcular la temperatura que alcanzaría ese termómetro al sumergirlo en una probeta con 100 cm3 de agua a 90 ºC.

Se supone que el termómetro está inicialmente a temperatura ambiente, que se toma 15 ºC.

Se supone que el conjunto es adiabático (i.e. que las pérdidas de calor al exterior son pequeñas durante la medida).

Se ha supuesto que el vidrio es de tipo común ("crown", SiO2 75%, Na2O 15%, CaO 10%).

>	eqBE:=DE=W+Q;W:=0;Q:=0;DE:=DEagua+DEterm;eqBE:=mw*cw*(Teq-T1)+mT*cT*(Teq-T0)=0;Teq_:=solve(%,Teq);mw=Vw*rho[w];Teq__:=subs(mw=Vw*rho,cw=c,Wdat,cT=c,Sdat,dat,Teq_):'Teq'=evalf(%,3);'Teq'=TKC(Teq__);

i.e. el termómetro no llegaría a 87 ºC (a 88 ºC si fuese un vidrio de menor capacidad témica, como el tipo "flint").

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