>	restart:#"m04_p11"

En un dispositivo cilindro émbolo horizontal se tiene 1 m3 de dióxido de carbono a 260 K y 100 kPa, estando la atmósfera exterior a 288 K y 100 kPa. Además de este estado (inicial o estado 1) se van a considerar otros dos: el estado de equilibrio termomecánico con la atmósfera (estado muerto o estado 0) y el estado en que empieza la transición gas líquido a 260 K (estado saturado o estado 2). Para la descripción del comportamiento termodinámico del gas se utilizará uno o varios de los tres modelos siguientes, según convenga:

    MGI = modelo de gas ideal,    

   MEC = modelo de estados correspondientes, y    

   MvW =modelo de van der Waals con las tres constantes deducidas a partir del punto crítico (es decir (pR+3/vR2)(vR 1/3)=8TR/3).             

En cualquier caso se tomará una capacidad calorífica constante cp=800 J.kg 1.K 1 para el gas a bajas presiones. Se pide:

a) Masa de gas encerrado.

b) Calor que recibiría la masa de gas si se atemperase a presión constante.

c) Trabajo límite que podría extraerse en el proceso de atemperamiento a p constante.

d) Presión en el estado de gas saturado (presión de vapor a 260 K).

e) Volumen del gas en el punto de vapor saturado.

f) Variación de enrgía interna, entalpía y entropía entre los estados 1 y 2.

g) Trabajo aportado (desde un depósito mecánico reversible) suponiendo una compresión isoterma de 1 a 2.

h) Trabajo mínimo necesario para pasar del estado 1 al estado 2 (y criticar la diferencia con el del apartado anterior).

i) Expresión general del coeficiente de Joule Thomson en función del coeficiente de compresibilidad, y valor en el estado 2.

j) Representar esquemáticamente en un diagrama p v (en realidad pR vR) la isoterma T=260 K, y en otro diagrama el potencial químico, en realidad µ/(RT), en función de lnpR para T=260 K, para los tres casos siguientes: 1) para el modelo de gas ideal (completado con el de líquido incompresible a partir del punto bifásico), 2) para el modelo de estados correspondientes, 3) para el modelo de van der Waals, dando en este último caso las expresiones explícitas µ(vR) y pR(vR).

Datos:

>	read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):

>	su:="CO2":dat:=[V1=1*m_^3,T1=260*K_,p1=100e3*Pa_,T0=288*K_,p0=100e3*Pa_,T2=260*K_];

Esquema:

>

>

Eqs. const.:

>	eq4_30;eqZ_MVW:=Z=1/(1-1/(3*vR))-9/(8*vR*TR);Z[cr_]:=subs(eqZ_MVW,TR=1,pR=1,vR=1,Z);Z[cr]:=p[cr]*v[cr]/(R*T[cr]);v[cr_]:=solve(Z[cr_]=Z[cr],v[cr]);gdat:=get_gas_data(su):pvdat:=get_pv_data(su):dat:=op(dat),gdat,Const,SI2,SI1:

a) Masa de gas encerrado.

>

m:=p1*V1/(Z1*R*T1);Z1_MGI:=1;pR1:=p1/p[cr];pR1_:=subs(dat,pR1):'pR1'=evalf(%,1);TR1:=T1/T[cr];TR1_:=subs(dat,TR1):'TR1'=evalf(%,2);Z1_MEC:=0.99;eq1:=subs(p=pR1,T=TR1,v=vR1,rhs(eq4_30))=subs(TR=TR1,vR=vR1,rhs(eqZ_MVW));vR1_:=fsolve(subs(dat,SI0,eq1),vR1):'vR1'=evalf(%,5);Z1_MVW:=subs(TR=TR1,vR=vR1_,dat,rhs(eqZ_MVW));'Z1_MVW'=evalf(%,3);m_MGI:=subs(Z1=Z1_MGI,dat,m):'m_MGI'=evalf(%,4);m_MEC:=subs(Z1=Z1_MEC,dat,m):'m_MEC'=evalf(%,4);m_MVW:=subs(Z1=Z1_MVW,dat,m):'m_MVW'=evalf(%,4);m:='m':dat:='m'=m_MGI,dat:

b) Calor que recibiría la masa de gas si se atemperase a presión constante.

>	Q10:=m*(h0-h1);Q10:=m*(h10_id-hcc0+hcc1);h10_id:=c[p]*(T0-T1);Q10_:=subs(hcc0=0,hcc1=0,Z1=1,dat,Q10);

Igual para todos porque se ha visto que las correcciones son despreciables

c) Trabajo límite que podría extraerse en el proceso de atemperamiento a p constante.

>	W10max:=E10+p0*V10-T0*S10;E10_:=subs(m=m_MGI,Z1=Z1_MGI,dat,m*c[v]*(T0-T1));V10:=V1*(T0/T1-1);p0V10_:=subs(dat,p0*V10);S10:=subs(T2=T0,p2=p0,rhs(eq2_16));T0S10_:=subs(dat,evalf(subs(Z1=Z1_MGI,dat,T0*S10)));W10max_:=E10_+p0V10_-T0S10_;

d) Presión en el estado de gas saturado (presión de vapor a 260 K).

El MGI no sirve porque no pueden condensar
El MVW requiere aplicar la Regla de Maxwell como se ve más adelante
El MEC:

>	pR_v_MEC_graf:=0.32;pR_v_MEC_K:=evalf(subs(K=6,TR=TR1_,exp(K*(1-1/TR)))):'pR_v_MEC_K'=evalf(%,2);p2_:=pR_v_MEC_graf*subs(dat,p[cr]):'p2'=evalf(%/(1e6*Pa_/MPa_),3);p2_Ant:=subs(SI1,evalf(subs(dat,pv(T2)))):'p2_Ant'=evalf(%/(1e6*Pa_/MPa_),3);dat:='p2'=p2_Ant,dat:

e) Volumen del gas en el punto de vapor saturado.

>

V2:=Z2*m*R*T2/p2;Z2_MGI:=1;pR2:=p2/p[cr];pR2_:=subs(dat,pR2):'pR2'=evalf(%,2);TR2:=T2/T[cr];TR2_:=subs(dat,TR2):'TR2'=evalf(%,2);Z2_MEC:=0.77;eq1:=subs(p=pR2,T=TR2,v=vR2,rhs(eq4_30))=subs(TR=TR2,vR=vR2,rhs(eqZ_MVW));vR2_:=fsolve(subs(dat,SI0,eq1),vR2):'vR2'=evalf(%,3);Z2_MVW:=subs(TR=TR2,vR=vR2_,dat,rhs(eqZ_MVW)):'Z2_MVW'=evalf(%,3);V2_MGI:=subs(Z2=Z2_MGI,dat,V2):'V2_MGI'=evalf(%,3);V2_MEC:=subs(Z2=Z2_MEC,dat,V2):'V2_MEC'=evalf(%,3);V2_MVW:=subs(Z2=Z2_MVW,dat,V2):'V2_MVW'=evalf(%,3);dat:='V2'=V2_MGI,dat:

f) Variación de energía interna, entalpía y entropía entre los estados 1 y 2.

>	V2:='V2':u12:='h12-(p2*V2-p1*V1)/m';h12:=h12_id-hcc2+hcc1;s12:=s12_id-scc2+scc1;h12_id:=c[p]*(T2-T1);s12_id:=rhs(eq2_16)/m;hcc2_MEC:=6*J_/(mol_*K_)*T[cr]/M;hcc2_MEC:=evalf(subs(dat,hcc2_MEC));hcc1_MEC:=0;scc2_MEC:=(5*J_/(mol_*K_))/M;scc2_MEC:=evalf(subs(dat,scc2_MEC));scc1_MEC:=0;

>	H12_MGI:=subs(dat,hcc2=0,hcc1=0,m*h12);S12_MGI:=subs(SI1,evalf(subs(dat,scc2=0,scc1=0,m*s12))):'S12_MGI'=evalf(%,2);U12_MGI:=subs(dat,m*c[v]*(T2-T1));

>	H12_MEC:=subs(dat,subs(dat,hcc2=hcc2_MEC,hcc1=0,m*h12));S12_MEC:=subs(SI1,evalf(subs(dat,subs(dat,scc2=scc2_MEC,scc1=0,m*s12)))):'S12_MEC'=evalf(%,2);U12_MEC:=subs(dat,subs(Z2=Z2_MEC,dat,hcc2=hcc2_MEC,hcc1=0,m*u12));

con el MVW se haría con las integrales (Ec. 4.39 del libro)

g) Trabajo aportado (desde un depósito mecánico reversible) suponiendo una compresión isoterma de 1 a 2.

>	Wu12:=E12-Q12+p0*V12;Wu12:=U12-T2*S12+p0*V12;Wu12_MGI:=subs(dat,U12_MGI-T2*S12_MGI+p0*V1*(p1/p2-1)):'Wu12_MGI'=evalf(%/(1000*J_/kJ_));Wu12_MEC:=subs(dat,U12_MEC-T2*S12_MEC+p0*V1*(Z2_MEC*p1/(Z2_MGI*p2)-1)):'Wu12_MEC'=evalf(%/(1000*J_/kJ_));

con el MVW sería como se ha indicado antes

h) Trabajo mínimo necesario para pasar del estado 1 al estado 2 (y criticar la diferencia con el del apartado anterior).

>	Wu12min:=E12+p0*V12-T0*S12;Wu12min_MGI:='U12_MGI+p0*V1*(p1/p2-1)-T0*S12_MGI';Wu12min_MGI_:=subs(dat,Wu12min_MGI):'Wu12min_MGI'=evalf(%/(1000*J_/kJ_));Wu12min_MEC:='U12_MEC+p0*(V2-V1)-T0*S12_MEC';Wu12min_MEC_:=subs(dat,Wu12min_MEC):'Wu12min_MEC'=evalf(%/(1000*J_/kJ_));

Nótese que Wu12min=W12isot+(T0-T2)*S12
Con el MVW sería como se ha indicado antes
Aunque resulta paradógico que el Wu12mín sea mayor que el Wu12isot, la explicación es que en el proceso isotermo en realidad no basta con aportar la exergía Wu12isot, sino que se ha usado calor Q12isot de una fuente fría (no del medio ambiente), que también consume exergía. Como en ningún caso hay pérdidas, será Wu12min=Wu12isot+Q12isot/T2.

i) Expresión general del coeficiente de Joule Thomson en función del coeficiente de compresibilidad, y valor en el estado 2.

>	Z:='Z':mu_JT:=(alpha*T-1)*v/c[p];v:=Z(T)*R*T/p;alpha:=expand((1/v)*diff(v,T));v:='v':'mu_JT'=expand(mu_JT);mu_JT:=T*v*dZ_dT_p/(Z*c[p]);dZ_dT_p:=evalf((0.92-0.79)/(0.9-0.85)/K_,2);mu_JT2:=subs(T=T2,v=V2/m,Z=Z2,Z2=Z2_MEC,dat,SI1,mu_JT):'mu_JT2'=subs(kg_=Pa_*s_^2*m_,evalf(%,2));

j) Representar esquemáticamente en un diagrama p v (en realidad pR vR) la isoterma T=260 K, y en otro diagrama el potencial químico, en realidad µ/(RT), en función de lnpR para T=260 K, para los tres casos siguientes: 1) para el modelo de gas ideal (completado con el de líquido incompresible a partir del punto bifásico), 2) para el modelo de estados correspondientes, 3) para el modelo de van der Waals, dando en este último caso las expresiones explícitas µ(vR) y pR(vR).

>	Z:=v/(v-1/3)-9/(8*v*T);Zcr:=3/8;#van der Waals

>	eq2:=p=(solve(Z=Zcr*p*v/T,p));

>	dlnp_dv_T:=simplify(diff(ln(subs(eq2,p)),v));

>	int1:=int(Z*dlnp_dv_T,v);

>	lnp_lnv:=subs(T=TR,v=exp(lnv),ln(subs(eq2,p)));

>	int1_lnv:=subs(T=TR,v=exp(lnv),int1);

>	vinf:=100;lnvinf:=evalf(ln(vinf));

>	lnpinf:=evalf(subs(lnv=lnvinf,TR=TR1_,lnp_lnv));

>	int1_lnvinf:=evalf(subs(lnv=lnvinf,TR=TR1_,int1_lnv));

>	plot(subs(TR=TR1_,{[lnp_lnv,lnp_lnv,lnv=-1..lnvinf],[lnp_lnv,int1_lnv-int1_lnvinf+lnpinf,lnv=-1..lnvinf]}),-2..1,-2..0.1,numpoints=300,color=black);

>