>	restart:#"m3_p12"

Se llena un termo de 1 litro completamente con una bebida caliente (supóngase agua a 95 ºC) y se cierra. Se pide:
a) Calcular el calor que se obtendría en el atemperamiento, y el trabajo termomecánico máximo obtenible del contenido, en presencia del ambiente.
b) Estimar con la energía anterior la altura a la que podría ser elevada una persona. ¿Es realizable este resultado aunque fuese sólo al 50%?
c) Determinar el valor del coeficiente de compresibilidad del agua sabiendo que la velocidad del sonido en el agua es c=1500 m/s y que c2=dp/dr½s.
d) ¿Cómo variará la presión interior al atemperarse y tener en cuenta las dilataciones?
e) Suponiendo que el coeficiente de dilatación del agua puede aproximarse por a=a0(T-T0) con a0=8×10-6 K-2 y T0=273 K, determinar una aproximación polinómica para la densidad en función de la temperatura y calcular su valor a 95 ºC.
f) Si se hubiera llenado (completamente) con el líquido atemperado y luego se hubiera calentado todo 10 ºC, y suponiendo despreciable la dilatación del recipiente ¿qué presión se alcanzaría en el interior?

Datos:

>	read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):

>	su1:="H2O":su2:="Aire":dat:=[V=1e-3*m_^3,T1=(95+273)*K_,mP=75*kg_,cw=1500*m_/s_,DT=10*K_,alpha[0]=8e-6/K_^2,T[0]=273*K_];

Esquema:

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>

Eqs. const.:

>	eqET:=eq1_15;eqEE:=eq1_17;ldat:=get_liq_data(su1):dat:=op(dat),Const,ldat,SI2,SI1:

a) Calcular el calor que se obtendría en el atemperamiento, y el trabajo termomecánico máximo obtenible del contenido, en presencia del ambiente.

MLP

>	eqBE:=DE=W+Q;eqBE:=m*c*(T1-T0)=0+Q;eqPhi:=Wmin=DE-T0*DS;eqPhi:=Wmin=m*c*(T1-T0)-T0*m*c*ln(T1/T0);mMLP_:=subs(dat,rho*V);eqBE_:=Q=subs(dat,mMLP_*c*(T1-T0)):evalf(%,2);eqPhi_:=subs(dat,evalf(subs(m=mMLP_,dat,eqPhi)));

b) Estimar con la energía anterior la altura a la que podría ser elevada una persona. ¿Es realizable este resultado aunque fuese sólo al 50%?

Tomamos un adulto típico de 75 kg.

Se sobreentiende que se haría mediante un artificio que al final quede inalterado, como una máquina térmica que moviese un ascensor de masa despreciable, en cuyo caso sería:

>	eqBE:=W=mP*g*Dz;Dz:=Wmin/(mP*g);Dz_:=subs(eqPhi_,dat,Dz);

Para ello haría falta un motor térmico que funcionase con bajo salto térmico y tuviera poquísima inercia, lo que con la tecnología actual no se ha conseguido. Actualmente en la práctica, un motor que trabaje con unos 50 K de salto térmico (e.g. uno de ciclo de Rankine de butano), podría tener un rendimiento entre el 1% y el 5% (bastaría un 1% de Q para subirla a 4,5 m), pero con los tamaños de máquinas actuales, se consumiría mucha energía en ponerse en marcha.

Sin embargo, si se admiten máquinas no cíclicas (que no coincida su estado inicial y final) se podrían conseguir alturas mucho mayores.

c) Determinar el valor del coeficiente de compresibilidad del agua sabiendo que la velocidad del sonido en el agua es c=1500 m/s (c2=dp/dr½s).

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eqc:=c=sqrt(Diff(p,rho)[s]);eqc:=c=sqrt(-v^2*Diff(p,v)[s]);eqv:=dv=alpha*v*dT-kappa*v*dp;eqs:=ds=c[p]/T*dT-alpha*v*dp;eqc:=c=sqrt(-v^2/(alpha*v*Diff(T,p)-kappa*v)[s]);eqc:=c=sqrt(-v^2/(alpha*v*alpha*v*T/c[p]-kappa*v));eqM:=c[p]-c[v]=alpha^2*v*T/kappa;eqg:=gamma=c[p]/c[v];simplify(subs(solve({eqM,eqg},{c[p],c[v]}),eqc));subs(v=1/rho,%);kappa_:=solve(subs(gamma=1,c=cw,dat,%),kappa):eqk:=kappa=evalf(1/subs(dat,1/kappa_),2);

d) ¿Cómo variará la presión interior al atemperarse y tener en cuenta las dilataciones?

El agua se contraerá previsiblement más que el recipiente, luego se hará el vacío (i.e. la presión bajaría hasta la presión de vapor a 15 ºC, menos de 2 kPa, y se produciría una burbuja de vapor).

e) Suponiendo que el coeficiente de dilatación del agua puede aproximarse por a=a0(T-T0) con a0=8×10-6 K-2 y T0=273 K, determinar una aproximación polinómica para la densidad en función de la temperatura y calcular su valor a 95 ºC.

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eqa:=alpha=alpha[0]*(T-T[0]);eqv;eqv_:=-diff(rho(T),T)/rho(T)^2=subs(eqa,alpha)/rho(T);sol:=subs(T0_=T[0],dsolve({subs(T[0]=T0_,eqv_),rho(T0_)=rho[0]},rho(T)));sol_:=rho(T)=subs(DT_=T-T[0],collect(convert(series(subs(T[0]=T_,T=T_+DT_,rhs(sol)),DT_,3),polynom),rho[0]));rho95:=evalf(subs(rho[0]=rho,dat,T=T1,dat,rhs(sol))):rho95exp:=evalf(%);rho95:=evalf(subs(rho[0]=rho,dat,T=T1,dat,rhs(sol_))):rho95pol:=evalf(%);

f) Si se hubiera llenado (completamente) con el líquido atemperado y luego se hubiera calentado todo 10 ºC, y suponiendo despreciable la dilatación del recipiente ¿qué presión se alcanzaría en el interior?

>	Dp:=subs(dv=0,dT=DT,solve(eqv,dp));eqa20:=subs(dat,T=T0+DT/2,dat,eqa);Dp_:=subs(v=1/rho,eqa20,eqk,dat,Dp):'Dp'=evalf(%,2);

i.e. o se compensa con la dilatación y la deformación elástica y plástica, o revienta.

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