>	restart:#"m01_p40"

En un cilindro vertical de 10 cm de diámetro y 0,5 m de altura, abierto por abajo, un émbolo de 10 kg cuya cara superior está a 20 cm del fondo del cilindro, encierra una cierta cantidad de dióxido de carbono. Se pide:
a) Hacer un esquema y determinar la presión y cantidad de gas atrapado.
b) Trabajo mínimo necesario para obligar a que la cara interior del émbolo quede a 40 cm del fondo. ¿El gas atrapado recibe o cede energía en este proceso?
c) Masa de la pesa que habría que colgar del émbolo para que en el equilibrio quedase como se ha dicho en el punto anterior, y variación de energía de la pesa, y punto más bajo que alcanzaría la pesa si al colocarla se suelta bruscamente.

Datos:

>	read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):unprotect(gamma):assume(x1>0,x2>0,x3>0);

>	su1:="CO2":su2:="Laton":dat:=[A=evalf(Pi*(0.1*m_)^2/4),L=0.5*m_,mE=10*kg_,z1=0.2*m_,z2=0.4*m_];

Esquema:

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Ecs. const.:

>	eqET:=eq1_14;eqBE:=eq1_5;eqEE:=eq1_16;gdat:=get_gas_data(su1):sdat:=get_sol_data(su2):dat:=op(dat),Const,gdat,SI2,SI1:

a) Hacer un esquema y determinar la presión y cantidad de gas atrapado.

>	eqBF:=mE*diff(z(t),t,t)=(p-p0)*A+mE*g-Ff;eqBEmec:=int(mE*diff(z(t),t,t)*diff(z(t),t),t)=Int((p-p0)*A+mE*g-Ff,z);T1:=T0:eqBF1:=0=(p1-p0)*A+mE*g;p1_:=p0-mE*g/A;p1_:=subs(dat,%);eqeT:=m=p1*A*z1/(R*T0);eqET_:=subs(p1=p1_,dat,%);eqET__:=n=subs(%,dat,m/M);

i.e., la presión del gas atrapado inicialmente sería de 87,5 kPa, habiendo encerrado 0.057 mol de CO2.

b) Trabajo mínimo necesario para obligar a que la cara interior del émbolo quede a 40 cm del fondo. ¿El gas atrapado recibe o cede energía en este proceso?

Para minimizar el trabajo, conviene hacer el proceso lentamente (isotérmicamente) para minimizar la fricción y el calentamiento. Sea F la fuerza necesaria.

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eqBF_lento:=0=(p-p0)*A+mE*g-Ff+F;Ff:=0;F_:=solve(%,F):WF:=Int(F,z=z1..z2);eqET;eq_process:=p*V=p1*V1;eq_process:=p*x=p1*x1;p2=p1*z1/z2;p2_:=subs(dat,p1_*z1/z2);WF:=int(subs(p=p1*z1/z,F_),z=z1..z2);WF:=-A*p1*z1*ln(z2/z1)+A*p0*(z2-z1)-mE*g*(z2-z1)+Ff*(z2-z1);WF_:=subs(dat,evalf(subs(p1=p1_,dat,WF)));WFterms:=[-A*p1*z1*ln(z2/z1),+A*p0*(z2-z1),-mE*g*(z2-z1)];WFterms_:=subs(dat,evalf(subs(p1=p1_,dat,WFterms)));

i.e., hay que hacer 42 J de trabajo, resultado de recibir 20 J por descenso del peso del émbolo, de hacer 157 J contra la atmósfera, y de recibir 95 J del gas encerrado.

El gas atrapado da 95 J de trabajo y toma 95 J de calor en el proceso, pero globalmente ni toma ni da energía.

NOTA AL MARGEN. Al estudiar la exergía, se vería que el trabajo mínimo para realizar un proceso con un sistema en presencia de una atmósfera infinita es Wmin=DE+p0*DV-T0*DS. Para nuestro caso, aplicándolo al gas atrapado:

>	Wmin=DPhi;Wmin=DE+p0*DV-T0*DS;T2=T1;DE:=0;DV:=A*(z2-z1);p0DV_:=subs(dat,p0*DV):'p0*DV'=evalf(%,3);DS:=m*(c[p]*ln(T2/T1)-R*ln(p2/p1));T0DS_:=subs(dat,evalf(subs(eqET_,p1=p1_,p2=p2_,T2=T1,dat,T0*DS))):'-T0*DS'=-evalf(%,3);Wmin_:=DE+p0DV_-T0DS_:'Wmin'=evalf(%,2);

i.e., el trabajo mínimo para obligar al gas a realizar ese proceso es de 62 J (que con los 95 J que proporciona el propio gas son los 157 J que pasan al ambiente). Pero en el problema presente, parte de ese trabajo lo haría el campo gravitatorio (los 20 J de bajada de los 10 kg), con lo cual se obtiene el resultado anterior: 62-20=42 J.

c) Masa de la pesa que habría que colgar del émbolo para que en el equilibrio quedase como se ha dicho en el punto anterior, y variación de energía de la pesa, y punto más bajo que alcanzaría la pesa si al colocarla se suelta bruscamente.

Aplicando el balance de fuerzas integrado al conjunto émbolo+pesa, y sabiendo que la velocidad será nula en el estado inicial y en el de máxima elongación, y que ahora el proceso será rápido y para el aire se podrá aproximar como isoentrópico, tendremos:

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eqBF_final:=0=(p2-p0)*A+mE*g-Ff+F;F:=mP*g;mP_:=subs(Ff=0,p2=p2_,dat,solve(eqBF_final,mP));eqBF:=(mE+mP)*diff(z(t),t,t)=(p-p0)*A+(mE+mP)*g-Ff;eqBFint:=int((mE+mP)*diff(z(t),t,t)*diff(z(t),t),t)=Int((p-p0)*A+(mE+mP)*g-Ff,z=z1..z3);eqBFint:=0=Int((p1*z1^gamma/z^gamma-p0)*A+(mE+mP)*g-Ff,z=z1..z3);eqBFint_:=subs(p1=p1_,mP=mP_,dat,SI0,value(eqBFint)):evalf(%,2);z3_:=fsolve(eqBFint_,z3=0.21..1)*m_;plot(rhs(eqBFint_),z3=.01..0.6,eq=-20..30);eq14:=p*z^gamma=cte;z4:=z1*(p1/p4)^(1/gamma);p4:=p2;z4_:=subs(p1=p1_,p2=p2_,dat,z4);

i.e., la pesa ha de ser de 35 kg, y la cara superior del émbolo bajaría hasta 0,55 m, oscilando alrededor de 0,34 m, pero como el cilindro sólo tiene 0,50 m de longitud, el émbolo se saldría, produciendo un fuerte sonido.

Aunque en este caso se pierda el cierre y se suelte el é,bolo, convendría tener una idea más clara de lo que pasaría si el cilindro fuese suficientemente largo. Si suponemos un coeficiente de amortiguamiento viscoso apropiado, podríamos tener un gráfico bastante realista de la evolución. Se ha añadido también una función de atemperamiento, pero no muy realisata, porque los tiempos de relajación térmica son siempre mucho mayores que los de equilibrado mecánico.

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with(plots):mEP:=mE+mP;mEP:=subs(mP=mP_,dat,%);deq1:=diff(z(t),t)=zp(t):deq2:='mEP'*diff(zp(t),t)='mEP'*g+(p-p0)*A-coef*zp(t);ic1:=z(0)=z1;ic2:=zp(0)=0;eqs:=subs(dat,SI0,{deq1,subs(p=p1_*(z1/z(t))^gamma,deq2),ic1,ic2});dsol1:=dsolve(subs(coef=30,eqs),{z(t),zp(t)},numeric):pl0:=odeplot(dsol1,[t,-z(t)],0..10,numpoints=100,labels=["t(seg)","z(m)"],colour=black):dsol9:=dsolve(subs(coef=0,eqs),{z(t),zp(t)},numeric):pl9:=odeplot(dsol9,[t,-z(t)],0..10,numpoints=100,labels=["t(seg)","z(m)"]):pl1:=plot({[[0,0],[10,0]],[[0,-subs(SI0,z4_)],[10,-subs(SI0,z4_)]],[[0,-subs(SI0,z3_)],[10,-subs(SI0,z3_)]]}):pl2:=plot({[[0,0],[20,0]],[[0,-subs(dat,SI0,z1)],[20,-subs(dat,SI0,z1)]],[[0,-subs(dat,SI0,z2)],[20,-subs(dat,SI0,z2)]]}):pl3:=plot(0.06*piecewise(x>10,exp(-((x-10)/7)^2),1)-0.4,x=0..20):display(pl0,pl1,pl2,pl9,pl3);

Warning, the name changecoords has been redefined

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