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Se desea determinar el cociente de capacidades térmicas  =cp/cv (exponente isoentrópico) de un cierto gas. Para ello se llena con ese gas un recipiente de 0,5 L, previamente evacuado, quedando a 20 ºC y 100 kPa. A continuación se hacen dos ensayos, ambos mediante el aporte de una pequeña cantidad de energía con una diminuta resistencia eléctrica de 2 W en el interior, que se conecta sólo durante 1 s. El primer ensayo se realiza a presión constante y el volumen aumenta 1,5 cm3, mientras que el segundo ensayo se hace a volumen constante y la presión aumenta 39 mm de columna de agua. Se pide:
a) Plantear el balance energético para el gas, en un caso general, indicando el valor de cada término en función de los datos y las incógnitas, y deducir una expresión general del balance energético en función de la entalpía para un proceso isobárico.
b) Obtener una expresión analítica para el cociente de capacidades térmicas, y su valor numérico.
c) Incremento medio de temperatura del gas en cada caso.
Datos:

>	read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):assume(xL>0):

>	dat:=[V0=0.5e-3*m_^3,T0=(20+273)*K_,Qdot=2*W_,Dt=1*s_,DV=1.5e-6*m_^3,Dp=390*Pa_];

Esquema:

>

>	Estados:=[1=inicial,2=final]:

Eqs. const.:

>	dat:=op(dat),Const,SI2,SI1:

a) Plantear el balance energético para el gas, en un caso general, indicando el valor de cada término en función de los datos y las incógnitas, y deducir una expresión general del balance energético en función de la entalpía para un proceso isobárico.

Suponenmos gas perfecto.

>

eq1_5;eq1_14;eq14_:=Dp/p+DV/V=DT/T;eqMSP:=DE=m*c[v]*DT;eq:=Q=Qdot*Dt; W[caso_p]:=-p0*DV;W[caso_V]:=0;eq_p:=m*c[v]*T0*DV/V0=Qdot*Dt+W[caso_p];eq_V:=m*c[v]*T0*Dp/p0=Qdot*Dt+W[caso_V];eqH:=H=U+p*V;eqBE:=DH-D(pV)=W+Q;eqBE_:=DH=W+Q+D(pV);eq1_8;eqBE__:=DH=E[mdf]-Int(p,V)+DE[m]+Q+Int(p,V)-Int(V,p);eqBE_p:=DH=Q;eq_p:=m*c[p]*T0*DV/V0=Qdot*Dt;

i.e. si no hay variaciones de energía mecánica interna ni fricción, el balance energético a p=cte es DH=Q y a V=cte es DU=Q.

b) Obtener una expresián analítica para gamma, y su valor numérico.

Dividiendo ambos balances energéticos:

>	eq_gamma:=lhs(eq_p)/lhs(eq_V)=rhs(eq_p)/rhs(eq_V);gamma=c[p]/c[v];eq_gamma:=gamma=V0*Dp/(p0*DV);subs(dat,eq_gamma):'gamma'=evalf(rhs(%),3);

i.e., gamma=1,30; este valor de gamma corresponde a un gas con molécula triatómica (podría tratarse del CO2).

c) Incremento medio de temperatura del gas en cada caso.

>	eqDT_p:=DT=T0*DV/V0;eqDT_p_:=evalf(subs(dat,eqDT_p),2);eqDT_V:=DT=T0*Dp/p0;eqDT_V_:=evalf(subs(dat,eqDT_V),3);

Como era de esperar, es mayor a V=cte.

Nótese que el cálculo de la gamma debe hacerse a partir de los valores de incremento de presión y de incremento de volumen, pues si se hiciese a partir del calor recibido la precisión sería inaceptable.

Cálculo de gamma en el proceso a presión constante:

>	eqBE_p:=Q=DH;eqBE_p:=Q=DU+p0*DV;eqg_p:=gamma=DH/DU;eqg_p:=gamma=Q/(Q-p0*DV);gamma_:=subs(dat,Q=Qdot*Dt,dat,rhs(eqg_p)):'gamma'=evalf(%,3);

Cálculo de gamma en el proceso a volumen constante:

>	eqBE_V:=Q=DU;eqBE_V:=Q=DH-V0*Dp;eqg_V:=gamma=DH/DU;eqg_V:=gamma=(Q+V0*Dp)/Q;gamma_:=subs(dat,Q=Qdot*Dt,dat,rhs(eqg_V)):'gamma'=evalf(%,3);

Si tomamos como válido el cálculo inicial, gamma=1,3, el calor recibido por el gas sería:

Despejando de eqg_V:

>	Q_V:=solve(eqg_V,Q);Q_V_:=subs(eq_gamma,dat,%);

Despejando de eqg_p:

>	Q_p:=solve(eqg_p,Q);Q_p_:=subs(eq_gamma,dat,%);

luego, de los 2 J que se han consumido de trabajo eléctrico, sólo 0,65 J han pasado realmente al gas; el resto se habrá gastado en calentar la resistencia eléctrica, pues, aunque sea diminuta, debe sufrir un gran salto térmico para que el proceso sea suficientemente rápido como para poder despreciar las pérdidas de calor por las paredes del recipiente.

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