>	restart:#"m01_p12"

En un cilindro adiabático vertical de 30 cm de diámetro hay 100 gramos de O2 que a 15 °C ocupan 50 litros, limitado superiormente por un émbolo adiabático de 20 kg al que va unido un resorte de constante elástica 105 N/m anclado al fondo del cilindro. Mediante una resistencia eléctrica se suministra lentamente 25 kJ al gas. Se pide:

a) Presión inicial del gas, altura inicial del émbolo y longitud natural del muelle.

b) Equilibrio final y balance energético.

Datos:

>	read"../therm_eq.m":read"../therm_proc.m":with(therm_proc):

>	su:="O2":dat:=[Di=0.3*m_,m=0.1*kg_,V0=0.05*m_^3,m[E]=20*kg_,ke=1e5*N_/m_,Q=25e3*J_]:dat:=[op(dat),A=evalf(subs(dat,Pi*Di^2/4))]:'dat'=evalf(%,3);

Esquema:

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>

Ecs. const.:

>	eqET:=subs(eq1_11,eq1_12);eqEE:=eq1_16;gdat:=get_gas_data(su):dat:=[op(dat),Const,gdat,SI2,SI1]:

a) Presión inicial del gas, altura inicial del émbolo y longitud natural del muelle.

El proceso será cuasi-estático. Supongamos que el muelle está estirado.

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eqBF:=m[E]*diff(z(t),t,t)=(p-p0)*A-m[E]*g-ke*(z(t)-zn)-Ff;eqBF1:=0=subs(z(t)=z1,p=p1,Ff=0,rhs(eqBF));p1:=solve(subs(V=V0,T=T0,eqET),p);z1:=V0/A;z1_:=subs(dat,V0/A):'z1'=evalf(z1_,3);zn_:=expand(solve(eqBF1,zn));zn__:=subs(dat,dat,zn_):zn=evalf(zn__,3);p1_:=evalf(subs(dat,dat,SI1,p1)):'p1'=evalf(%/(1e3*Pa_/kPa_));dat:=['z1'=z1_,'zn'=zn__,'p1'=p1_,op(dat)]:z1:='z1':p1:='p1':

i.e. el muelle está algo estirado, desde 0,67 m hasta 0,71, siendo la presión del gas 150 kPa.

b) Equilibrio final y balance energético.

Si elegimos como sistema el gas:

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eqBE:=eq1_5;eqBE:=subs(eqBE,subs(DE[m]=0,eq1_9));T1:=T0:W12:=Int(-p(z),z=z1..z2);p_:=expand(subs(z(t)=z,Ff=0,solve(0=rhs(eqBF),p)));W12:=expand(int(-A*p_,z=z1..z2));eq1:=eqBE;eq1:=subs(DT=T2-T1,subs(W=W12,eqEE,eqBE));eq2:=eqET;eq3:=0=rhs(eqBF);eq3:=expand(subs(z(t)=z2,p=p2,zn=zn_,Ff=0,0=rhs(eqBF)));

cuya solución da:

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eq1_:=subs(dat,SI0,subs(dat,eq1));eq2_:=subs(SI0,subs(dat,subs(p=p2,T=T2,V=A*z2,eqET)));eq3_:=subs(SI0,subs(dat,eq3));sol1:=solve({eq1_,eq2_,eq3_},{z2,p2,T2});z2_:=subs(sol1[1],z2)*m_;p2_:=subs(sol1[1],p2)*Pa_:'p2'=evalf(p2_/(1e3*Pa_/kPa));T2_:=subs(sol1[1],T2)*K_;'T2_'=TKC(%);dat:=['z2'=z2_,'p2'=p2_,'T2'=T2_,op(dat)]:

i.e., el émbolo sube desde 0,71 m hasta 0,81 m, la presión pasa de 150 kPa a 294 kPa, y la temperatura de 15 ºC a 373 ºC (un valor muy alto para que se puedan haber despreciado las pérdidas por las paredes).

Si se hubiera elegido como sistema el conjuntogas+muelle+émbolo, los términos del balance cambiarían, pero no el resultado, que es, que de los 25 kJ que da la resistencia eléctrica, 23,4 kJ se almacenan térmicamente en el gas, 0,9 kJ elásticamente en el muelle, 0,7 kJ pasan a la atmósfera, y el émbolo apenas almacena 20 J de energía potencial.

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DU12:=m*c[v]*(T2-T1);DU12_:=evalf(subs(dat,DU12)):'DU12'=evalf(%/(1000*J_/kJ_));DEpEmb:=m[E]*g*(z2-z1);DEpEmb_:=evalf(subs(dat,SI1,DEpEmb));DUatm:=p0*A*(z2-z1);DUatm_:=evalf(subs(dat,dat,dat,DUatm));DEmuelle:=Int(ke*(z-zn),z=z1..z2);DEmuelle_:=int(ke*(z-zn),z=z1..z2);DEmuelle__:=evalf(subs(dat,SI1,%));

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